Đại số và các loại đại số - Phần 3: Phương trình và mở rộng trường

51. Đại số là lí thuyết của các phương trình! Giải phương trình có nghĩa là gì?
Xét những bài toán sau đây:

1. Tuổi của A gấp đôi tuổi của B. Hồi 10 năm trước thì tuổi của A gấp bốn lần tuổi của B. Hỏi hiện nay họ bao nhiêu tuổi?
2. Tiền của A nhiều gấp đôi tiền của B. Sau khi mỗi người xài 10 rupee, A nhận thấy tiền của anh gấp bốn lần tiền của B. Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu tiền?
3. A đi xa gấp đôi B. Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm, thì A đi xa gấp bốn lần B. Hỏi mỗi người đã đi bao xa?

Thực thể chưa biết như tuổi, tiền và quãng đường đi trong những bài toán này được gán cho tên gọi x và bài toán được phát biểu theo kí hiệu x đó.
Phát biểu như thế này về x thường liên hệ hai biểu thức bởi một dấu bằng, vì thế nó được gọi là phương trình. Phương trình này là đúng đối với giá trị hoặc những giá trị nhất định của biến x, và không đúng với những giá trị khác.
Giải phương trình có nghĩa là xác định những giá trị của biến x để cho phương trình nghiệm đúng. Ví dụ, phương trình 4x = 12 chỉ đúng với x = 3, nên 3 được gọi là nghiệm của phương trình 4x = 12.
52. Những bài toán này được giải như thế nào?
Trong bài toán 1,
Ta gọi tuổi của B là x.
Thì tuổi của A là 2x.
Mười năm trước, tuổi của A phải là (2x – 10).
Và tuổi của B là (x – 10).
Theo bài toán, tuổi của A bằng bốn lần tuổi của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Vậy tuổi của B là 15, và tuổi của A gấp đôi tuổi của B: 30.
Trong bài toán 2, ta giả sử B có x rupee, thì tiền của A là 2x rupee.
Sau khi xài 10 rupee, A còn lại (2x – 10) rupee, B còn lại (x – 10) rupee.
Theo bài toán, tiền của A lúc này bằng bốn lần tiền của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Tiền của B là 15 rupee, và tiền của A gấp đôi của B: 30 rupee.
Trong bài toán 3,
Ta giả sử B đi x dặm, thì A đi 2x dặm.
Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm thì quãng đường A đi được là (2x – 10), và B đi được (x – 10) dặm.
Theo bài toán, quãng đường của A bằng bốn lần quãng đường của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Vậy B đi được 15 dặm và A đi được 15 dặm.
53. Nói phương trình là một mô hình toán học thì có nghĩa là gì?
Ba bài toán ở trên liên quan đến những thực thể rõ ràng khác nhau như tuổi, tiền và quãng đường đi, nhưng cùng một phương trình, tức là (2x – 10) = 4 (x – 10) là phương tiện cần thiết để giải chúng.
Như vậy, phương trình là một mô hình toán học có nhiều điểm chung với bài toán nên nghiệm của nó cũng là nghiệm của bài toán. Như vậy, trong khi chúng ta chỉ giải mô hình, nhưng bài toán cũng đã được giải.
54. Mô hình “có nhiều điểm chung” với bài toán có nghĩa là sao? Có phải mô hình không đại diện hoàn toàn cho bài toán?
Tập hợp số tự nhiên 1, 2, 3,... là ví dụ đơn giản nhất của một mô hình toán học. Nó được sử dụng để đếm các vật khi mà toàn bộ tính chất của các vật đó bị bỏ qua, trừ số lượng của chúng.
Nhưng nếu những yếu tố khác được xét đến, thì chúng có thể dẫn tới những kết luận kì lạ hoặc bất ngờ như câu chuyện dưới đây sẽ làm rõ.
Trong lớp bình dân học vụ ở một ngôi làng nọ, người thầy dạy đang cố gắng giảng giải phép toán trừ như sau:
Thầy: Có 11 con cừu, 7 con nhảy ra khỏi chuồng thì sẽ còn lại mấy con?
Trò: Không còn con nào cả!
Thầy: Vì sao vậy? Nếu 7 con chạy qua bên này rồi thì bên kia còn lại 4 con chứ! Sao lại không còn con nào?
Mấy người học trò vẫn chưa chịu thôi.
Trò: Trời ơi, có lẽ thầy biết làm toán đó. Nhưng thầy không hiểu mấy con con cừu rồi!
55. Thủ tục giải các bài toán đại số là gì?
Để giải các bài toán, chúng được chuyển thành các phương trình. Cách giải các phương trình là chủ để trọng tâm của đại số, phần tiếp theo sẽ giới thiệu ngắn gọn về chúng.
56. Phương trình bậc nhất là gì?
Một phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó x là một thực thể chưa biết, được gọi là một phương trình bậc nhất.
Nó có thể được giải một cách dễ dàng.
Nếu ax + b = 0 thì ax = - b và x = - b/a.
Trong những bài toán đã nêu ở trên, phương trình 2x = 30 là một phương trình bậc nhất.
57. Phương trình bậc hai là gì?
Một phương trình bậc hai thì có dạng ax² + bx + c = 0.
Nó có hai nghiệm, mặc dù đôi khi hai nghiệm đó trùng nhau.
58. Phương trình bậc hai được giải như thế nào?
Công cụ chính để giải phương trình bậc hai là một công thức được suy luận ra như sau:
Trước hết, chia mỗi số hạng của phương trình cho a.

59. Những phương pháp nghiệm này đã được phát triển khi nào?
Người ta tin rằng các phương trình bậc nhất đã được giải bởi người Ai Cập vào khoảng 4000 năm trước. Phương trình bậc hai đã được giải bởi người Hindu vào thời cổ xưa, còn các phương trình tổng quát bậc ba và bậc bốn chỉ mới được giải bởi các nhà đại số học người Italy vào thế kỉ 16.
60. Một phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Một phương trình bậc nhất thì có một nghiệm, bậc hai có hai nghiệm, bậc ba có ba nghiệm, và cứ thế số nghiệm theo bậc của phương trình.
Vào giai đoạn đầu của lịch sử toán học, người ta chỉ công nhận nghiệm dương của các phương trình, còn nghiệm âm bị xem là sai.
61. Có phải mọi phương trình đại số đều có nghiệm thực?
Không. Có những phương trình như x² + 1 = 0 không có nghiệm thực nào.
Phương trình x² + 1 = 0 có hai nghiệm là i và – i, trong đó i là kí hiệu của √-1, tức là căn bậc hai của – 1.
Có thể nói rằng mỗi phương trình bậc hai có hai nghiệm, cái cần thiết là công nhận tồn tại số phức – cái đã có thời người ta phủ nhận.
Một con số có dạng a + it được gọi là số phức. Nếu a = 0 thì con số đó đôi khi được gọi là số ảo.
Nhưng phương trình x² – 2 = 0 thì có hai nghiệm thực, √2 và – √2.
Những nghiệm như thế đã gây khó khăn cho các nhà toán học, cho đến khi số vô tỉ được thừa nhận là một tập số.
62. Mở rộng hệ thống số thì có lợi gì? Hay định lí cơ bản của đại số học là gì?
Với hệ thống số mở rộng bao gồm toàn bộ số tự nhiên, phân số, số âm, số vô tỉ và số phức, người ta đã có thể phát biểu một định đề rất quan trọng và đẹp đẽ gọi là định lí cơ bản của đại số học.
Nó phát biểu rằng mọi phương trình đại số bậc n với các hệ số thực hoặc hệ số phức luôn luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc nghiệm phức.
Nó được gọi là định lí cơ bản của đại số học bởi vì khi nó được Gauss chứng minh lần đầu tiên vào năm 1799, nghiên cứu đại số học chỉ mới hạn chế với lí thuyết của các phương trình. Mặc dù định lí cực kì quan trọng nhưng tên gọi như thế không còn hợp lí trước sự thay đổi to lớn về bản chất và quy mô của đại số học.
Một hệ quả rất hữu ích của định lí này là mỗi phương trình đại số bậc n không phải có một mà có chính xác n nghiệm. Tất nhiên, ở đây ta giả sử rằng một nghiệm trùng lắp cũng được đếm là một nghiệm.
63. Tại sao định lí cơ bản của đại số học được gọi là định lí tồn tại?
Nó được gọi là định lí tồn tại vì nó chỉ đơn giản cho chúng ta biết số lượng nghiệm tồn tại đối với một phương trình cho trước, chứ nó không đề cập tới phương pháp xác định nghiệm.
64. Định lí này có đúng cho mọi loại phương trình không?
Không. Định lí chỉ đúng đối với các phương trình đại số vì có tồn tại những phương trình phi-đại số không có nghiệm gì cả!
Ví dụ, phương trình a^x = 0, trong đó a là một số thực, không có nghiệm nào hết!
65. Những phương trình nào được gọi là phi-đại số?
Sau đây là một vài phương trình phi-đại số:

(i)                  x + log₁₀x = 5

(ii)                e^x – 3x = 0

(iii)               x² + 4 sinx = 0

Những phương trình này là phi-đại số vì chúng chứa các biểu thức logarithm, lũy thừa hoặc lượng giác.
66. Hệ thống số có được khái quát hóa vượt ra ngoài số phức hay không?
Đã có những nỗ lực khái quát hóa thêm khái niệm số nhưng không thành công cho lắm.
Các quaternion và số siêu phức đã được phát minh để có sự khái quát hóa như thế.
67. Quaternion là gì?
Một quaternion là một kí hiệu thuộc loại a + bi + cj + dk, trong đó a, b, c, d là các số thực, và i, j, k là các kí hiệu toán tử.
Tổng của hai quaternion được định nghĩa đơn giản. Ví dụ, tổng của hai quaternion
x = x₀ + x₁i + x₂j + x₃k
và y = y₀ + y₁i + y₂j + y₃k
là x + y = (x₀ + y₀) + (x₁ + y₁)i + (x₂ + y₂)j + (x₃ + y₃)k.
Tích của hai quaternion được định nghĩa bằng cách sử dụng luật phân phối và những quy ước sau đây:
i² = j² = k² = - 1
ij = - ji = k
jk = - kj = i
ki = - ik = j
Chúng được phát minh bởi William R. Hamilton.
68. Số siêu phức là gì?
Một số siêu phức được kí hiệu bởi biểu thức
E₁x₁ + E₂x₂ +… + E_nx_n,
trong đó x₁, x₂,…, x_n là các số thực, và E₁, E₂,…, E_n­ là các kí hiệu toán tử.
Nó còn được gọi là vector n chiều, và được sáng tạo bởi Grassmann, một người đương thời với Hamilton.
Lí thuyết số siêu phức bao hàm các quaternion, nên các quaternion có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của số siêu phức.
69. Tại sao những mở rộng này của hệ thống số ít được biết tới?
Có nhiều lí do.
Các nhà vật lí và các nhà toán học ứng dụng thấy chúng quá khái quát và phức tạp cho những nhu cầu hằng ngày của họ.
Thứ hai, một công cụ toán học đơn giản hơn nhiều gọi là Giải tích Vector đã được phát triển, do sức mạnh to lớn của nó mà nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu như mỗi ngành vật lí toán và nhiều lĩnh vực khác.
Thứ ba, các quy ước mà Hamilton sử dụng để định nghĩa tích của hai quaternion hay các quy tắc mà Grassmann lập ra để kết hợp hai số siêu phức không thỏa mãn sức mạnh của tính hợp thức của toán học.
70. Vậy câu hỏi cần trả lời là gì: Khái niệm số có được mở rộng thêm vượt ra ngoài hệ số phức hay không?
Câu trả lời là Không, và đó là một bước ngoặc lớn.
Weierstrass đã chứng minh vào khoảng năm 1860, và sau này được Hilbert chứng minh đơn giản hơn nữa, rằng không thể có sự khái quát hóa nào thêm nữa theo xu hướng đặc biệt này.
Chúng ta đã đi tới cuối con đường.
71. Phương trình bậc ba là gì và nó được giải như thế nào?
Phương trình bậc ba tổng quát có dạng
x³ + ax² + bx + c = 0                          (1)
Trước tiên nó được biến đổi thành một phương trình bậc ba có dạng
y³ + py + q = 0                                                                                     ...(2)
phương trình không chứa số hạng bình phương của biến.
Việc này được tiến hành một cách dễ dàng bằng cách đặt x = y – a/3.
Bây giờ giả sử y = u + v,
rồi lập phương cả hai vế:
                y³ = u³ + v³ + 3uv (u + v)
hay         y³ = u³ + v³ + 3uv y
                                thay y cho u + v
hay         y³ – 3 uvy – (u³ + v³) = 0                                                          ...(3)
So sánh phương trình (2) và (3) ta có

Vì x=y-a/3 nên ta có thể suy ra x trừ đi a/3 tư kết quả trên.

72. Ai đã phát triển phương pháp giải này?
Phương pháp giải phương trình bậc ba này thường được gọi là phương pháp Cardan.
Cardan thu được nó từ một nhà toán học khác tên là Tartaglia với lời hứa giữ bí mật nhưng ông đã công bố nó là thành quả của riêng ông trong quyển sách của ông vào năm 1545.
Cả Cardan và Tartaglia đều là người Ý.
73. Phương trình bậc ba có các hệ số được giải như thế nào?
Chúng ta hãy thử giải phương trình sau đây:
x³ + 6x² + 9x + 4 = 0
Trước tiên, đặt x = y – 2, khi đó phương trình đã cho biến đổi thành
(y – 2)³ + 6 (y – 2)² + 9 (y – 2) + 4 = 0
hay đơn giản lại là y³ – 3y + 2 = 0.
Bây giờ đặt y = u + v, thì y³ – 3 uvy – (u³ + v³) = 0, rồi lập phương cả hai vế.
Þ uv = 1, và u³ + v³ = – 2, khi so sánh với y³ – 3y + 2 = 0
hay         u³ + v³ = – 2, và u³v³ = 1.
Do đó, u³ và v³ là nghiệm của phương trình
t² – (tổng các nghiệm) t + (tích các nghiệm) = 0
hay         t² + 2t + 1 = 0,
hay         (t + 1)² = 0, cho t = – 1, – 1.
Þ u³ = – 1, và v³ = – 1; cho u = – 1, và v = – 1.
Þ y = u + v = – 2
Vì y = – 2 là một nghiệm của phương trình y³ – 3 y + 2 = 0
Þ y + 2 phải là một hệ số của phương trình này.
Chia phương trình cho y + 2, ta được phương trình bậc hai
y² – 2y + 1 = 0, hay (y – 1)² = 0, cho y = 1, 1.
Þ y = – 2, 1, 1.
Vì x = y – 2, nên cuối cùng ta có x = – 3, – 1, – 1.
74. Phương pháp này có luôn cho ra nghiệm hay không?
Trong trường hợp phương trình bậc ba có hệ số, phương pháp này chỉ cho ra nghiệm khi phương trình bậc ba hoặc có hai nghiệm ảo, hoặc có hai nghiệm bằng nhau, và nó không tìm ra nghiệm của phương trình bậc ba có cả ba nghiệm thực và không bằng nhau.
Phương trình bậc ba thuộc loại vừa nói được giải bằng cách sử dụng lượng giác và các phương pháp gần đúng.
75. Phương trình bậc bốn được giải như thế nào?
Một ví dụ sẽ làm sang tỏ nhất phương pháp giải nghiệm.
Xét phương trình
x⁴ – 10 x³ + 35 x² – 50 x + 24 = 0
Phương pháp giải trước tiên biểu diễn vế trái là hiệu của hai bình phương, sau đó là tích của hai phương trình bậc hai.
Ta có      x⁴ – 10 x³ + 35 x² – 50 x + 24 = 0
hay         x⁴ – 10 x³ = – 35 x² + 50 x – 24
hay         x⁴ – 10 x³ + 25 x² = – 10 x² + 50 x – 24
hay         (x² – 5 x)² = – 10 x² + 50 x – 24
Đưa thêm λ vào vế trái, rồi cân bằng với vế phải, ta được
(x² – 5 x + λ)² = (– 10 x² + 50 x – 24) + λ² + 2λ (x² – 5 x)
hay         (x² – 5 x + λ)² = (2λ – 10) x² + (50 – 10 λ) x + λ² – 24
Áp dụng điều kiện các số hạng ở vế phải tạo nên một số chính phương, ta được cái gọi là lập phương bổ trợ theo λ, từ đó có thể tính ra λ.
Ở đây, λ có thể được xác định dễ dàng hơn bằng cách xét rằng vì các số hạng ở vế phải tạo nên một số chính phương, nên (2x – 10) và (λ² – 24) cũng phải là một số chính phương.
Do đó, ta đặt (2x – 10) lần lượt bằng 1, 4, 9, 16,... và thấy giá trị của l làm cho λ² – 24 cũng là một số chính phương.
Đặt 2x – 10 = 4 hay λ = 7 cho λ² – 24 = 25, đó là một số chính phương, và ta được
(x² – 5x + 7)² = 4x² – 20x + 25
hay         (x² – 5x + 7)² = (2x – 5)²
hay         x² – 5x + 7 = ± (2x – 5)
suy ra    x² – 5x + 7 = 2x – 5, và x² – 5x + 7 = – 2x + 5,
tức là x² – 7x + 12 = 0, và x² – 3x + 2 = 0.
Đây là hai phương trình bậc hai, giải chúng cho ta tương ứng x = 3, 4 và x = 1, 2.
Do đó, nghiệm của phương trình bậc bốn đã cho là 1, 2, 3, và 4.
76. Ai đã phát triển phương pháp này và khi nào?
Phương pháp giải phương trình bậc bốn này được nêu ra vào năm 1540 bởi Ferrari, một nhà toán học người Italia và là học trò của Cardan.
77. Phương pháp giải phương trình bậc bốn của Descartes là gì?
Vào năm 1637, Descartes nêu ra một phương pháp giải khác với Ferrari. Ông giải phương trình bằng cách biểu diễn nó bằng tích của hai tam thức bậc hai.
Phương pháp này có thể áp dụng khi phương trình khuyết số hạng chứa x³, hoặc loại trừ nó bằng những thay thế thích hợp.
Ví dụ sau đây làm rõ cho phương pháp.
Xét phương trình
x⁴ – 2x² + 8x – 3 = 0
Giả sử x⁴ – 2x² + 8x – 3 = (x² + kx + l) (x² + kx – m),
sau đó đơn giản và cân bằng các hệ số giống nhau,
ta có

Sử dụng đồng nhất thức
(m + l)² – (m – l)² = 4ml
để loại trừ m, n ra khỏi những phương trình này, ta được
(k – 2)² – 64/k² = - 12
Đơn giản, ta được k⁶ – 4k² + 16k² – 64 = 0.
Đây là phương trình bậc ba theo k², và nó được thỏa mãn bởi k² = 4, hay k = ± 2.
Thay k = 2 ta có m=3, l=-1. . Do đó x⁴ – 2x² + 8x – 3=(x² + 2x-1)(x² - 2x+3).
78. Còn phương pháp giải phương trình tổng quát bậc năm thì sao?
Sau khi có được phương pháp giải phương trình bậc ba và bậc bốn, nhiều nhà toán học danh tiếng đã tiếp tục nỗ lực giải phương trình bậc năm. Họ đã cố gắng không mệt mỏi trong hơn hai thế kỉ rưỡi mà không có chút thành công nào.
79. Phương trình bậc năm là không thể giải được bằng cách đưa nó về phương trình bậc bốn phải không?
Chúng ta đã thấy rằng lời giải của một phương trình phụ thuộc vào lời giải của một phương trình bậc thấp hơn. Sử dụng nguyên lí này, một nhà toán học người Pháp, Lagrange, đã cố giải phương trình bậc năm nhưng nó lại dẫn ông tới một phương trình bậc sáu. Đây là một dấu hiệu gián tiếp rằng một phương trình bậc năm tổng quát không thể giải được bằng những phương pháp như thế. Lagrange đã bỏ qua gợi ý đó.
80. Abel đã chứng minh cái gì?
Abel, một nhà toán học người Na Uy, vào năm 1824 đã chứng minh kết quả nổi bật rằng phương trình đại số tổng quát có bậc cao hơn bốn là không thể giải được bằng cách khai căn.

Còn nữa...

XEM TIẾP...

Bộ sách Toán sơ cấp của Liên Xô đã dịch sang tiếng Anh

Bộ sách Toán sơ cấp của Liên Xô (cũ) đã dịch sang tiếng Anh hầu hết được xuất bản bởi nhà xuất bản MIR. Nhiều cuốn trong số này có ảnh hưởng đến phong trào học toán và dạy toán sơ cấp ở Việt Nam. Các bài tập từ cơ bản đến nâng cao, từ sách giáo khoa đến sách tham khảo của Việt Nam một phần được lấy từ đây.

1. Problems in Solid Geometry (Bài tập Hình học không gian) bởi I. F. Sharygin. Download.
[Bản dịch tiếng Việt tương ứng là 340 bài toán hình học không gian của Sharygin]
2. Problems in Plane Geometry (Bài tập Hình học phẳng) bởi I. F. Sharygin. Download.

3. Problems on plane and Solid geometry (Bài tập Hình học không gian và Hình học phẳng) bởi Prasolov (tập 1).Download.



4. Problems on plane and Solid geometry (Bài tập Hình học không gian và Hình học phẳng) bởi Prasolov (tập 2).Download.
[Bản dịch tiếng Việt tương ứng là Bài tập Hình học không gian và Hình học phẳng 2 tập]

5. Differential Equations in Applications (Phương trình sai phân và ứng dụng) bởi V. V. Amel’kin. Download.

6. The Method of Mathematical Induction (Phương pháp quy nạp) bởi I. S. Sominsky. Download.

7. Systems of Linear Inequalities (hệ bất phương trình tuyến tính) bởi A. S. Solodovnikov. Download.

8. The Monte Carlo Method (Phương pháp Monte Carlo) bởi I. M. Sobol. Download.

9. Proof in Geometry (Chứng minh trong Hình học) in by A. I. Fetisov. Download.

10. Probability Theory first steps (Lý thiyeets xác suất khởi đầu) bởi E. S. Wentzel. Download.

11. Problem in Geometry (bài tập Hình học phẳng và không gian) bởi A. Kupteov and A. Rubanov. Download.

12. Trigonometric Functions – Problem Solving Approach (Hàm số lượng giác Tiếp cận theo hướng giải quyết vấn đề) bởi A. Panchishkin và E. Shavgulidze. Download.

13. Geometrical Constructions Using Compasses Only (Dựng hình chỉ bằng compa) bởi A. N. Kostovskii.Download.

14. Solving Equations In Integers (Giải phương trình nghiệm nguyên) by A. O. Gelfond. Download.

15. Method of Coordinates (Phương pháp tọa độ) bởi A. S. Smogorzhevky. Download.

16. Inequalities (bất đẳng thức) bởi P. P. Korovkin. Download.

17. Fundamental Theorem of Arithmetic (Định lí cơ bản của số học) bởi L. A. Kaluzhnin. Download.

18. Analytical Geometry (Hình học giải tích) bởi A. V. Pogorelov. Download.

19. A Problem Book in Algebra (bài tập đại số) bởi V. A. Krechmar. Download.

20. Selected Problems and Theorems in Elementary Mathematics – Arithmetic and Algebra (Tuyển chọn các bài tập và định lí trong toán sơ cấp - Số học và Đại số) bởi D. O. Shklyarsky, N. N. Chentsov and I. M. Yaglom. Download.

21. Problems in Calculus of One Variable (Bài tập Phép tính vi tích phân một biến) bởi Issac A. Maron. Download.

22. Problems in Mathematical Analysis bởi B. P. Demidovich. Download.

23. Problems in Higher Algebra (bài tạp đại số cao cấp) bởi Faddeev, Sominsky. Download.

24. Problems in Elementary Mathematics (bài tập toán sơ cấp)bởi V. Lidsky, L. Ovsyannikov, A. Tuliakov and M. Shabunin. Download.

25. Equations of Mathematical Physics (các phương trình Vật lí Toán) bởi A. V. Bitsazde. Download.

XEM TIẾP...

TUYỂN TẬP ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM 2013- PHẦN 2

23. Đề thi học sinh giởi thành phố Hồ Chí Minh 2013 - 2014
Ngày 1.
Bài 1: Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$
Bài 2: Cho dãy $(x_n)$ thỏa $$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$
Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$
Bài 3: Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân nội tiếp (O), M di động trên (O). M không thuộc AO. Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt BC tại N. Đường trung trực của MN cắt AB, AC lần lượt tại E,F. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác AEF.
Bài 5: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}{2013}$$



Ngày 2
Bài 1: Tìm các đa thức $f(x), g(x)$ hệ số nguyên thỏa $$f(g(x)) = x^{2013}+2014x+1 \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Bài 2: Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là các số thực thỏa $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ và $\max_{1 \le i \le j \le 5} |a_i -a_j| \le 1$. Chứng minh $$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \le 10$$
Bài 3: Một tam giác nguyên là tam giác có độ dài các cạnh là số nguyên. Tìm các tam giác nguyên có chu vi bằng diện tích.
Bài 4: Cho tam giác ABC không cân có M,N,P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Đường trung trực của AB và AC cắt AM lần lượt tại D và E. BD cắt CE tại F. Chứng minh APFN nội tiếp.
Bài 5: Có tồn tại hay không một tập con $A$ gồm 2014 phần tử của tập $S = \{1;2;...;3020\}$ thỏa $2x \notin A \ \forall x \in A$?

24. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2013 - 2014
Ngày 1
Câu 1
Giải phương trình trên tập số thực :
$2013^{x^3-y^3-3x^2-3y^2-9x+9y+22}+2013^{x^2+y^2-x+y-\frac{1}{2}}=x^3-y^3-2x^2-2y^2-10x+10y+\frac{47}{2}$
Câu 2:
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=3,a_2=5\\ a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên $k$ sao cho $4a_na_{n+1}+k$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương
Câu 3
Cho tam giác $ABC$ đều, $M,P$ lần lượt thuộc $AB$ và $BC$ sao cho $MP$ song song $AC$. Gọi $D$ là trọng tâm $MPB$ và $E$ là trung điểm $AP$. Tính số đo các góc $\Delta DEC$
Câu 4
Cho thất giác lồi $ABCDEFG$ có các cạnh và các đường chéo $AC,AD,AE,AF$ có độ dài không vượt quá $\sqrt{3}$ bên trong thất giác lồi lấy 2014 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
1, Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của thất giác và chứa ít nhất 288 điểm đã cho
2, Xét tất cả các tam giác tạo thành bởi 3 trong 2014 điểm trên, chứng minh số tam giác đó chứa ít nhất là 30% tam giác không nhọn.
Ngày 2
Câu 5
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện :
$$(P(x))^2-2=2P(2x^2-1)$$
Câu 6
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. Gọi (C) là đường tròn tâm I nằm trong tam giác ABC. D, E, F lần lượt là các giao điểm của (C) với IA', IB', IC'.
Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy
Câu 7
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho với mọi $m,n\in \mathbb{Z}$ ta có :
1, Nếu $m\equiv n\pmod{p}$ thì $f(m)=f(n)$
2, $f(mn)=f(m)f(n)$
Câu 8
Chứng minh rằng trong 18 người bất kì luôn tồn tại 4 người đôi 1 quen nhau hoặc đôi 1 không quen nhau.

25. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2013 - 2014
Câu 1. Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{{x - 1}}$, $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $(C)$. Với giá trị nào của $m$, đường thẳng $y = - x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và tam giác $IAB$ đều.
Câu 2.

1. Giải phương trình sau trên tập số thực $$5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 4\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) - 9.$$
2. Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $$\left\{ \begin{array}{l}
   \sqrt {7x + y} - \sqrt {2x + y} = 4\\
   2\sqrt {2x + y} - \sqrt {5x + 8} = 2
   \end{array} \right.$$

Câu 3. Cho tam giác $ABC$ không đều thỏa mãn ${a^2} = 4S.\cot A$, trong đó $BC = a$ và $S$ là diện tích tam giác $ABC$. Gọi $O$ và $G$ theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp và trọng tâm tam giác $ABC$. Tính góc giữa hai đường thẳng $AG$ và $OG$.
Câu 4. Cho dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định như sau: ${x_1} = \sqrt 3$ và
$${x_{n + 1}} = \sqrt {9x_n^2 + 11{x_n} + 3}, \left( n \in \mathbb{N}^* \right)$$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}$.
Câu 5. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{{xy}}{{3x + 4y + 2z}} + \frac{{yz}}{{3y + 4z + 2x}} + \frac{{zx}}{{3z + 4y + 2y}}.$$

26. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Sơn La năm học 2013 - 2014
Câu 1.

1. Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} + x\sqrt[3]{x^2} \right)^n$ biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là $a_0 + a_1 +... + a_n = 4096$.
2. Cho phương trình $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt.

Câu 2.

1. Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên và $n \ge 1$ thì:
   $$\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} > \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.$$
2. Tìm giới hạn sau:
   $$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin^{m+n+p}{x}}{\sqrt[3] {\left(1- \sin^m{x} \right) \left( 1- \sin^n{x} \right) \left( 1- \sin^p{x}\right) }}$$
   Với $m,n,p \in \mathbb{N}^{*}$.

Câu 3 Cho hàm số : $y= \dfrac{x^4}{2} = 3x^2 + \dfrac{5}{2} (C)$ và điểm $M \in (C)$ có hoành độ $x_M = a$. Với giá trị nào của $a$ thì tiếp tuyến của $(C)$ tại $M$ cắt $(C)$ ở hai điểm phân biệt khác $M$.
Câu 4 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = h$ và $SA \perp (ABCD)$. $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $CD$. Đặt $CM = x$.

1. Hạ $SH \perp BM$. Tính $SH$ theo $a, h$ và $x$.
2. Xác định vị trí của $M$ để thể tích tứ diện $SABH$ đại giá trị lớn nhất. Tìm GTLN đó.

Câu 5 (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ biết $\sin{A}^2 + \sin{B}^2 = k \sin{C}^2$ với $k > \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin C$.

27. Đề thi chọn đội tuyển Hải Phòng năm 2013-2014.
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1=1$ và
$$x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n},\forall n\geq 1.$$
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ. Tính $\lim x_n$.

Câu 2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ cố định. Điểm $C$ di chuyển trên đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Dựng đường cao $CD$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $AD$ và $CD$, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của đường phân giác góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{AEB}$. Chứng minh rằng $F$ nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 3. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=\sqrt{xyz}$. CHứng minh rằng
$$\frac{x^{2014}}{1-x}+\frac{y^{2014}}{1-y}+\frac{z^{2014}}{1-z}<\frac{1}{3.4^{2013}}.$$
Câu 4. Trong một phòng thi có $n$ ($n\geq 2$) thí sinh được xếp xung quanh một bàn tròn. Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau, mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản. Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh chỉ nhận một đề và khác loại đề hai thí sinh ngồi cạnh. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh biết rằng số cách phát đề hợp lệ không quá $2013$?
Ngày 2
Câu 1. Cho $a,b$ là hai số tự nhiên thỏa mãn $1\leq a\leq b$, đặt $M=\left[\dfrac{a+b}{2}\right]$. Gọi $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số xác định bởi
$$f(n)=\begin{cases}n+a,\quad \text{ nếu } n<M\\ n-b,\quad \text{ nếu } n\geq M\end{cases}.$$
Đặt $f^1(n)=f(n), f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$. Tìm số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $f^k(0)=0$.
Câu 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ ($O_1$ và $O_2$ nằm về hai phía so với $AB$). Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D$ khác $A$ ($A$ nằm giữa $C,D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2)$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 3. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$, ($k\in\mathbb{Z}$). Hãy tìm số dư của phép chia
$$(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)....((p-1)^2+1) \text{ cho } p.$$
Câu 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ô vuông, ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng bốn số trong mỗi bảng vuông con $2\times 2$ đều bằng $0$. Hỏi tổng tất cả các số trong bảng $2013\times 2013$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?

XEM TIẾP...

Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2013 - 2014

1. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014

2. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2013 - 2014

Câu 1 (4 điểm)

Giải hệ phương trình

$$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 & & \end{matrix}\right.$$

Câu 2 (4 điểm)

Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.CMR

$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^{2}+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^{2}+ab}}\leq \frac{3}{abc}$$

Câu 3 (4 điểm)

Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}<\widehat{BAC}$. Trên đường thẳng $BC$ lấy điểm $D$ thỏa mãn $\widehat{CAD}=\widehat{ABC}$.Đường tròn $(O)$ bất kì đi qua $B,D$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $M,N$ .Kẻ hai tiếp tuyến $AP,AQ$ với $(O),P,Q$ thuộc $(O)$. Gọi $G$ là giao điểm của $BN$ và $DM$, gọi $I$ là trung điểm của $AG$.

a/ CMR: $P,Q,G$ thẳng hàng.

b/ CMR: $CI$ vuông góc với $AG$.

Câu 4 (4 điểm)

Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn

$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=0,x_{2}=1 & & \\ x_{n+1}=\frac{3x_{n-1}+2}{10x_{n}+2x_{n-1}+2},n\geq 2 & & \end{matrix}\right.$$

Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn và tìm $lim x_{n}$

Câu 5 (4 điểm)

Tìm cặp các số nguyên $(a,b)$ sao cho

$$\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$$

là một số nguyên.

3. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm học 2013 - 2014
Bài 1: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2} \\ \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1 \\ \end{matrix} \right.$$ .

Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$

Bài 3:
1) Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ lần lượt có bán kính là ${{R}_{1}},{{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( {{O}_{1}} \right)$ ($M$ khác $A$), tiếp tuyến của $\left( {{O}_{1}} \right)$ tại $M$ cắt $\left( {{O}_{2}} \right)$ tại $B$ và $C$. Gọi $M'$ ($M'$ khác $A$) là giao điểm của $AM$ với $\left( {{O}_{2}} \right)$.
a) Chứng minh $AM’$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ .
b) Tìm quỹ tích tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.

2) Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ và đường kính $AB$, trên đoạn $IB$ lấy điểm $C$ ($C$ khác $I$ và $B$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $AB$ tại $C$ và $H$ là điểm thay đổi trên $(d)$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại điểm $D$ và đường tròn $BH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ luôn đi qua điểm cố định.

Bài 4: Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi
$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$
a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $
b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$

Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho
$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$ 


4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm học 2013 - 2014

Câu 1:

a) Giải phương trình $(2cos x-1)(sinx+cosx)=1$

b) Cho $a,b,c$ là số thực dương. Chứng minh rằng ta có

$$\frac{2}{(a+b)^2}+\frac{2}{(b+c)^2}+\frac{2}{(a+c)^2}\geq\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}$$

Câu 2:

a) Chứng minh nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ thì không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+1$ chia hết cho $p$

b) Giải phương trình nghiệm nguyên $(x+y)^2+2=2x+2013y$.

Câu 3:

Cho dãy $a_n$ thoả $a_1=\dfrac{1}{2}$, $a_{n+1}=a_n+ \dfrac{n^2}{2013}$, $n \geq 1$

a) Chứng minh dãy tăng nhưng không bị chặn trên

b) Đặt $S_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_1+2013}.$ Tìm $\lim_{n\to +\propto} S_n$

Câu 4:

Tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm, $AH,BH,CH$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. $AE$ và $MF$ cùng vuông gọc với $NP$ (trong đó $E$, $F$ thuộc $NP$)

a) Chứng minh rằng $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$ và $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $M$ của $MNP$

b) Chứng minh $EH$ đi qua trung điểm của $MF$

Câu 5:

Cho dãy các phân số: $\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{2012},\dfrac{1}{2013}$. Người ta biến đổi dãy bằng cách xoá đi $2$ số $a,b$ bất kì và thay bằng số $a+b+ab$. Sau một lần biến đổi các số hạng giảm đi $1$ đơn vị so với dãy trước. Chứng minh rằng giá trị của số hạng cuối sau $2012$ lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện và tìm giá trị đó.

5. Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014 Xem và thảo luận tại đây/


6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2013 - 2014
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$
Câu 2 (4.0 điểm)
Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số $({{x}_{n}})$ được xác định như sau:
$${{x}_{1}}=a\,;\,\,{{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}{{{x}_{n}}+1},$$ (tử số có n dấu căn); $\forall n=1,2,3...$
Tính giới hạn của dãy số $({{x}_{n}})$.
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xyz)-f(x)f(yz)\ge \frac{1}{4},\forall x,y,z\in \mathbb{R}$.
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và $M, N$ là hai điểm di động trên đường thẳng $BC$ sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$. Đường thẳng $d_1$ đi qua $M$ và vuông góc với $AC$, đường thẳng $d_2$ đi qua $N$ và vuông góc với $AB$. Gọi $K$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Chứng minh rằng trung điểm $I$ của đoạn $AK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (4.0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.
Câu 6 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& 9{{y}^{4}}+24{{y}^{3}}-x{{y}^{2}}+7{{y}^{2}}=16-x+24y \\
& 8{{y}^{3}}+9{{y}^{2}}+20y-\sqrt[3]{6y+1}+15=x \\
\end{align} \right.\,\,(x,y\in \mathbb{R}\,)$

Câu 7 (5,0 điểm).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $xyz = 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{3}}}+\frac{8}{{{\left( 2+y \right)}^{3}}}+\frac{64}{{{\left( 4+z \right)}^{3}}}$.
Câu 8 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn $(I)$ và $(J)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $IA\perp JA$. Đường thẳng $IJ$ cắt hai đường tròn tại $C, E, D, F$ sao cho các điểm $C, I, E, D, J, F$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. $BE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm thứ hai $K$ và cắt $AC$ tại $M$. $BD$ cắt đường tròn $(J)$ tại điểm thứ hai $L$ và $AF$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng: $MN\bot AB$.
b) Chứng minh rằng: $KE.LN.ID=JE.KM.LD$.
Câu 9 (5,0 điểm).
Cho các số nguyên dương $n, k, p$ với $k\ge 2$ và $k\left( p+1 \right)\le n$. Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.
2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau trong hai cách đó).

7. Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK, Tp. Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014. Xem và thảo luận tại đây/

8. Đề thi học sinh giỏi Tp. Cần Thơ năm học 2013 - 2014

Câu 1: Giải hệ phương trình sau:

$$\left\{\begin{matrix} x^3+3xy^2=25 & & \\x^2+6xy+y^2=10x+6y-1 & & \end{matrix}\right.(x,y\in\mathbb{R})$$

Câu 2: Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn, $AB<AC$, $AH$ là đường cao và $AD$ là đường phân giác trong. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trêm các cạnh $AC$ và $AB, M$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.

1. Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng.

2. Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh $\frac{HB}{HC}=\frac{KB}{KC}$.

3. Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ với đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh : $\frac{HB}{HC}\frac{NB}{NC}<1$

Câu 3: Cho $a, b, c$ ;à ba số nguyên khác không và thỏa mãn $a^2b+b^2c+c^2a=3abc(1)$

1. Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa$(1)$

2. Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.

Câu 4: Cho các đa thức $P(x), Q(x)$ với hệ số thức thỏa mãn điều kiệm $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in\mathbb{R}$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.

Câu 5: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ thỏa mãn các điều kiện :

$$\left\{\begin{matrix} f(0)=1 & & \\f \left ( f(m+n) +m\right )=n & & \end{matrix}\right.\forall m, n\in\mathbb{Z}$$

Câu 6: Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số $1$ và $3$ vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên $a$ và $b$ thì được phép viết thêm số $c=a+b+ab$ vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số $2509$ và $20132014$ hay không? Giải thích tại sao?

9. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Long An 2013
Câu I (5,0 điểm).
1. Giải phương trình $x^2+6x+1=\left(2x+1 \right)\sqrt{x^2+2x+3}$
2. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}x^3+2x^2=5-2y
& \\ \left(15-2x \right)\sqrt{6-x}-\left(4y+9 \right)\sqrt{2y+3}=0
\end{matrix}\right.$$
Câu II (5,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$, $x - y = 0$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$ và $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $5\sqrt{2}$.
2. Cho tam giác $ABC$, gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$, vẽ đường tròn tâm $D$ qua $A$ và $B$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên đường tròn đó. Chứng minh rằng $MA^2+MB^2=MC^2$.
Câu III (4,0 điểm).
Cho số thực $\alpha \in \left(0;1 \right)$, xét dãy số $\left(u_{n} \right)$ với
$$\left\{\begin{matrix}u_{1}=\alpha
& \\ u_{n+1}=\frac{1}{2014}u_{n}^{2}+\frac{2013}{2014}\sqrt{u_{n}}
\end{matrix}\right.$$
1. Chứng minh rằng $0<u_{n}<1$
2. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_{n} \right)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu IV (3,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1$. Chứng minh rằng $$abc\leq 1.$$
Câu V (3,0 điểm).
Cho phương trình $\sqrt{21+4x-x^2}-\frac{3}{4}x+3=m\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{7-x} \right)$. Tìm m để phương trình có nghiệm.

10. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam 2013. Xem và thảo luận tại đây.

11. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước năm 2013 - 2014. Xem và thảo luận tại đây.

12. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lạng Sơn 2013

Câu 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:

$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$

trên đoạn $[-4;6]$.

Câu 2.

Giải phương trình:

$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$

Câu 3.

Giải hệ phương trình:

$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$

Câu 4.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.
a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
Câu 5.
Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$
Đặt $$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$
Tìm $\lim S_n$.

13. Đề thi học sinh giỏi tỉnh An Giang 2013
Câu 1. Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d):y=m(x-1)+2$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau với $x>0$ $$y=f(x)=2x+\dfrac{1}{x}+\sqrt{2\left(1+\dfrac{1}{ x^2}\right)}$$
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau :
a) $\sin{2x}+\dfrac{1}{2}\tan{x}=\dfrac{3}{2}-\cos{2x}$
b) $\begin{cases} y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\dfrac{1}{5}y^2+y \end{cases}$
Câu 4. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $(\Delta):x-y+2=0$, $(d):3x+y-4=0$ và điểm $A(2;2)$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua điểm $A$ có tâm nằm trên đường thẳng $d$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.

Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=SB=SD=BD=2a$,$AB=BC=a$, $\widehat{CBD}=2\widehat{ADB}$, $\widehat{ABD}=2\widehat{BDC}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.

14. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2013. Xem và thảo luận tại đây


15. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh 2013. Xem và thảo luận tại đây

16. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2013
Câu 1.
a) Từ đỉnh $Q$ của một hình bình hành $PQRS$ kẻ các đường thẳng $QE$ vuông góc với $RS$($E$ thuộc đoạn $RS$, $E$ khác $R$ và khác $S$) và $QK$ vuông góc cới $PS$ ($K$ thuộc đoạn $PS$, $K$ khác $P$ và khác $S$). Biết $KE=x$; $QS=y$ ($y>x$). Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $QEK$. Tính $QH$ theo $x$ và $y$.
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ gọi $(d)$ là đường thẳng cắt parabol $(P)$: $y^2=4x$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ ($A, B$ khác gốc tọa độ $O$) sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 2.
a) Cho $f(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu n số $f(0), f(1), f(2), ..., f(n-1)$ đều không chia hết cho $n$ ($n$ là số tự nhiên, $n\ge 2$) thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tính tổng của tất cả các số vừa tìm.
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) $\sqrt{x+8}+\dfrac{9x}{\sqrt{x+8}}-6\sqrt{x}=0$.
b) $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}=2x-y \\
{{y}^{2}}=2y-z \\
{{z}^{2}}=2z-t \\
{{t}^{2}}=2t-x \\
\end{matrix} \right.$
Câu 4. Có ba trường học mỗi trường có $n$ học sinh. Một học sinh bất kỳ có tổng số người quen từ hai trường học kia là $n+1$. Chứng minh rằng có thể chọn được ở mỗi trường học một học sinh sao cho ba học sinh này quen lẫn nhau.

17. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013
Câu 1. (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
$$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}.$$

Câu 2. (4 điểm) Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+8}{2(x_n-1)},n\in N^* & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.

Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$). Gọi $M,K$ lần lượt là là trung điểm của $BC$ và $AD$. Hai đường thẳng $BK$ và $AM$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E,F$.

1. Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$.
2. Chứng minh hai đường thẳng $EF$ và $AB$ song song với nhau.

Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:
$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x, \forall x,y \in \mathbb{R}.$$

Câu 5. (4 điểm) Người ta xếp $2014$ bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý $5$ bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong $5$ bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của $5$ bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc. Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc.

18. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai 2013
Câu 1.
Cho hàm số $y=x^3+3ax^2+3bx$ (với $a,b$ là hai tham số thực,$x$ là biến thực).Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B thỏa $AB >2$ khi và chỉ khi $2(a^2-b)>1$.
Câu 2.
Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
x^2y+xy+2x-12y-24=0 & & \\
x^3-y^3=2(x^2+y^2+xy)+3(x-y-2)& &
\end{matrix}\right.$$
Câu 3.
Giải phương trình:$cos(2x).cot(2x)=cosx.cotx$
Câu 4.
Cho a,b,c là ba số thực đều lớn 1 thỏa $a+b+c=abc$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$.
Câu 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2a$,với $a>0$.Biết SAB là tam giác đều,góc giữa mp(SCD) và đáy bằng 60 độ.Gọi điểm H là hình chiếu của S lên mặt đáy,H ở trong hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm cạnh AB.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo $a$.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo $a$.
Câu 6.
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
Xác định số phần tử của T.Chọn ngẫu nhiên một số phân biệt từ tập T,tính sác xuất để số được chọn là số chia hết cho 6.
19. Đề thi chọn đội tuyển học sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2013-2014
Bài 1. Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.tan4x-1=0\\$
Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao hco $3^n+5$ là số chính phương .
Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$.
Bài 5. Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2013
Câu 1 
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$
Câu 2 
Giải phương trình: $64\cos^{6}x+56\cos^{2}x=2\sqrt{1-\cos^{2}x}+112\cos^{2}4x+7$, với $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
Câu 3
Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} 3x+y-3\geq 0\\ 3x-y-3\leq 0 \\ 2y-x-6\leq 0 \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=2x(x-1)-4(y+x)+2(y^{2}+x)$
Câu 4
1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết hai cạnh $AB$ và $BC$ có độ dài không đổi $AB=a$, $BC=b$ và tam giác $ACD$ là tam giác đều.
Tính độ dài $AC$ theo $a$ và $b$ khi $BD$ có độ dài lớn nhất.
2. Trên một khu rừng đủ rộng, người ta trồng nhiều cây thông con. Xem các gốc cây thông là các điểm (đường kính gốc cây không đáng kể). Chứng minh rằng nếu ta trồng cây sao cho các tam giác có đỉnh là các điểm tạo bởi các gốc cây thông đều có diện tích không quá $500 m^2$ thì tồn tại một tam giác có diện tích không quá $2014 m^2$,chứa tất cả các cây thông này.
Câu 5
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{x} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right ),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$$
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Trà Vinh 2013. Xem và thảo luận tại đây.

21. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình 2013. Xem và thảo luận tại đây.

22. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2013
Câu 5: Tìm tất cả các đa thức $P(x), Q(x)$ có hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$ và thỏa mãn điều kiện
$$P(1)+P(2)+...+P(n)=Q(1+2+...+n),\forall n\in\mathbb{N}^*.$$
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có đúng $12$ ước nguyên dương thỏa đồng thời các điều kiện sau

• $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$,
• $d_{d_4-1}=d_8(d_1+d_2+d_4)$.

Câu 7: Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$, bán kính $R$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$; $I_a,I_b,I_c$ lần lượt là tâm đường tròn bàng tiếp góc $A,B,C$ của tam giác $ABC$. $X,Y,Z$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $OBC,OCA,OAB$. $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $XYZ$. $P$ đối xứng với $I$ qua $O$. Chứng minh rằng

1. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_aI_bI_c$ có tâm là $P$ và bán kính bằng $2R$.
2. Điểm $K$ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.
   

XEM TIẾP...

Đại số và các loại đại số - Phần 1: Số học và nguồn gốc của đại số

1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?

Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.

Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.

Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.

Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.

Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.

Xu hướng hiện đại là trình bày tất cả các nghiên cứu toán học dưới dạng tiên đề.

2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?

Từ “arithmetic” (số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên việc học số học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.

Nhưng theo thời gian số học đã biến thành lí thuyết số.

3. Số học là sự trừu tượng phải không?

Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người về sự trừu tượng.

Do đó, khi chúng ta nói, 2 + 3 = 5, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.

Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.

Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu (1, 2, 3,...) và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.

4. Phát biểu 2 + 3 = 5 có đúng cho mọi đối tượng không?

Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.

Ví dụ, thêm 2 giọt nước vào 3 giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.

Tương tự, nếu nhốt 2 con hổ và 3 con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt 3 con thỏ bất lực đó.

Một ví dụ nữa, một lực bằng 2 đơn vị và một lực khác bằng 3 đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa 1 và 5 đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.

Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng 5 đơn vị.

Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng 4 đơn vị nếu góc giữa chúng bằng 75,5 độ.

5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?

Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.

Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.

Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.

Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, √2 là một số vô tỉ.
Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.
Một số phức là một con số bất kì có dạng a + bi, trong đó a và b là số thực, và i là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là i2 = - 1.
6. Các số siêu việt là gì?
Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.
e và π là những số như thế.
e = 2,71828...;                    π= 3,14159...
các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.
Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm 1934 là αβ là siêu việt nếu α là đại lượng đại số khác 0 và khác 1, và β là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ.
Như vậy, 2√3, 3√2, 5√3 là những số siêu việt. Nhưng nếu α và β đều là siêu việt thì không biết αβ có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ ee, ππ hoặc πe có là siêu việt hay không.
Tuy nhiên, eiπ = - 1 là một kết quả tinh tế và sang trọng.
7. Vì sao đại số được gọi là số học tổng quát hóa?
Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.
Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.
Như vậy,                  42 – 1 = (4 + 1) (4 – 1).
                                52 – 1 = (5 + 1) (5 – 1),
                                62 – 1 = (6 + 1) (6 – 1).
Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ 4, 5 hoặc 6, ta thay vào con số bất kì nào khác.
Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau
x2 – 1 = (x + 1) (x – 1).
Việc đưa thêm vào kí hiệu x là sự khởi đầu của đại số.
8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?
Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.
Các kí hiệu x, y, z,... được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.
Như vậy x + x = 2x, và x + y = y + x
cho dù x và y biểu diễn con số nào.
9. Đại sốđã được tổng quát hóa chưa?
Kí hiệu x, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức cho đến khoảng một thế kỉ rưỡi trước, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.
Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.
Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu + và ×.
Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.
Đây là hình ảnh đại diện cho sự khái quát hóa của cái đại số bắt đầu.
10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?
Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.
11. Đại số trừu tượng là gì? Có phải nó là một sự tổng quát hóa hơn nữa?
Trong đại số trừu tượng, ngay cả những thực thể này cũng mất hết ý nghĩa của chúng về phương diện độ lớn và người ta nói tới những “phần tử” khái quát hơn trên đó những toán tử tương tự các toán tử đại số có thể được thực hiện.
Một ví dụ của những phần tử như thế là hai chuyển động tác dụng liên tiếp nhau hợp lại sẽ tương đương với một chuyển động.
Để minh họa, kí hiệu chuyển động quay của một hình vuông quanh tâm của nó 90o là R1, 180o là R2 và 270o là R3, thì chuyển động quay R1 rồi đến R2 sẽ tương đương với một chuyển động R3.
Một ví dụ nữa là hai phép biến đổi đại số sẽ tạo ra cùng một kết quả với một phép biến đổi đại số.
Để minh họa, kí hiệu phép tịnh tiến là T1 và T2 là phép quay, thì biến đổi T1 rồi đến T2 sẽ tương đương với một phép tịnh tiến T3.
Do đó, nếu với một tập hợp nào của các “vật”, kí hiệu bằng những chữ cái, những toán tử nhất định có thể được định nghĩa theo những quy tắc nhất định, thì người ta nói một hệ thống đại số đã được định nghĩa. Vì thế, đại số học được nhận dạng là việc nghiên cứu những hệ thống đại số đa dạng, và khi đó nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề.
12. Vì sao nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề?
Nó là trừu tượng bởi vì chúng ta không quan tâm các chữ cái trong hệ thống đại số đó kí hiệu cho cái gì. Cái quan trọng là các tiên đề hay các quy tắc phải được thỏa mãn bởi các toán tử. Và nó có tính tiên đề bởi vì nó được xây dựng đơn thuần từ các quy tắc hay các tiên đề được phát biểu lúc ban đầu.
Hai hệ thống đại số như thế được biết đến dưới tên là nhóm và vành.
Tên gọi thoạt nghe có chút lạ lẫm, nhưng hiểu qua chút ít sẽ làm dịu đi phản ứng ban đầu đó. Chúng ta sẽ trở lại với chúng ở phần sau.
13. Những lĩnh vực nghiên cứu nào sử dụng đại số tiên đề?
Tô-pô, giải tích hàm, cơ học lượng tử và vật lí đương đại là một vài cái tên thuộc một vài lĩnh vực quan trọng, trong đó đại số tiên đề tỏ ra là công cụ khảo sát có sức mạnh nhất.
14. Số học là lý thuyết của những con số! Lý thuyết của những con số nghiên cứu cái gì?
Lí thuyết sơ cấp của những con số nghiên cứu cái sau đây:
Các hợp số và các quy tắc chia hết, số nguyên tố và sự xuất hiện của chúng, định lí cơ bản của số học, định lí Fermat, định lí Wilson, định lí cuối cùng của Fermat.
Các số Pythagoras,
Tính chất của những con số lớn,
Những con số được nói tới ở đây là số tự nhiên hoặc số nguyên dương.
15. Hợp số và số nguyên tố là gì?
Một số con số có thể được phân tích thành những thừa số nhỏ hơn, ví dụ 15 = 3 × 5, nhưng 11 hoặc 17 thì không phân tích được.
Các số có thể phân tích được thành những thừa số nhỏ hơn được gọi là hợp số, còn những số không thể phân tích được như thế được gọi là số nguyên tố.
16. Còn số 1 thì sao? Nó có phải là số nguyên tố không?
Một số nguyên tố là số có ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ, số nguyên tố 7 có hai ước số, 1 và 7, mặc dù người ta gọi chúng là những ước số tầm thường.
Vì thế, nếu 1 là số nguyên tố thì nó sẽ có đúng hai ước số. Nếu 1 là hợp số, thì nó sẽ có nhiều hơn hai ước số. Nhưng số 1 có đúng một ước số thôi, cho nên nó không phải là số nguyên tố, cũng chẳng phải là hợp số.
17. Các quy tắc chia hết là gì?
Sau đây là các quy tắc chia hết. Người ta học chúng ở nhà trường.

1. Một số là chia hết cho 2, nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2. Như vậy, những số kết thúc với 0, 2, 4, 6, hoặc 8 là chia hết cho 2, như trong 530 và 138.
2. Một số là chia hết cho 4, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 4, như trong 300 và 528.
3. Một số là chia hết cho 8, nếu ba chữ số tận cùng bên phải là 000 hoặc chia hết cho 8, như trong 3000 và 3240.
4. Một số là chia hết cho 5, nếu chữ số tận cùng bên phải là 0 hoặc 5, như trong 240 và 235.
5. Một số là chia hết cho 25, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 25, như trong 300 và 425.
6. Một số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 3, như trong 231.

Ở đây 2 + 3 + 1 = 6, tổng chia hết cho 3, vì thế 231 chia hết cho 3.
Ta dễ dàng thấy được nguyên nhân như sau:
231         = 2 × 100 + 3 × 10 + 1
                = 2 × (99 + 1) + 3 × (9 + 1) + 1
                = 2 × 99 + 2 × 1 + 3 × 9 + 3 × 1 + 1
                = 2 × 99 + 2 + 3 × 9 + 3 + 1
                = (2 × 99 + 3 × 9) + (2 + 3 + 1)
                = (một bội của 9) + (tổng các chữ số).
Do đó, một con số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số của nó là chia hết cho 3.

7. Một số là chia hết cho 9, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 9, như trong 477.

Ở đây, 4 + 7 + 7 = 18, tổng chia hết cho 9, nên 477 chia hết cho 9.
Lí do trong trường hợp này cũng tương tự như với trường hợp chia hết cho 3.

8. Một số là chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng của các chữ số thứ tự lẻ và tổng các chữ số thứ tự chẵn bằng 0 hoặc bằng bội của 11.

Xét con số 1 8 3 9 5 5 2.
Tổng các chữ số thứ tự lẻ là 1 + 3 + 5 + 2 = 11,
Tổng các chữ số thứ tự chẵn là 8 + 9 + 5 = 22,
Hiệu bằng 22 – 11 = 11, chia hết cho 11,
nên 1 8 3 9 5 5 2 chia hết cho 11.
18. Còn những quy tắc nào khác nữa không?
Vâng, có những quy tắc hấp dẫn như sau:

1. Tích của hai số bằng tích của ước chung lớn nhất của chúng và bội chung nhỏ nhất của chúng.
   Như vậy, nếu hai số là 12 và 18, thì ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng tương ứng là 6 và 36, và 12 × 18 = 6 × 36 = 216.
2. Tích của hai số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2, tức là n(n + 1) là chia hết cho 2, trong đó n là số nguyên bất kì.
3. Tích của ba số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2), là chia hết cho 2 × 3, tức là 6.
4. Tích của bốn số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là chia hết cho 2 × 3 × 4, tức là 24.
5. Tích của r số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2 × 3 × 4 × ... × r, hay r! .
   Tích 1.2.3...r được gọi là r giai thừa, và được kí hiệu là r!
6. Với mọi số lẻ n, số n2 – 1 là chia hết cho 8.
   Nếu n là một số lẻ, thì n – 1 phải chẵn và chia hết cho 2. Đồng thời, n + 1 là số chẵn liền sau và, do đó, chia hết cho 4. Vì thế, tích này chia hết cho 8.

19. Có bao nhiêu số nguyên tố?
Có vô hạn số nguyên tố.
Các số nguyên tố nhỏ hơn 100, xếp theo thứ tự là:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.
Một vài số nguyên tố lớn hơn 100 là:
101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...
20. Có nguyên tố lớn nhất không?
Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.

Còn nữa...

XEM TIẾP...