Monday, June 30, 2014
Friday, June 27, 2014
Monday, June 23, 2014
Friday, June 13, 2014
Tuyển tập Đề thi vào lớp 10 môn Toán các tỉnh năm học 2013 - 2014
67) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh An Giang năm học 2013 - 2014. Download.
66) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đồng Nai năm học 2013 - 2014. Download.
65) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Giang năm học 2013 - 2014. Download.
64) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Bình năm học 2013 - 2014. Download.
63) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm học 2013 - 2014.
Bài 1: Cho $A=(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x-3}{x+2\sqrt{x}+4}-\frac{7\sqrt{x}+10}{x\sqrt{x}-8}): (\frac{\sqrt{x}+7}{x+2\sqrt{x}+4})$.
Tìm $x$ sao cho $A<2$.
b) Tìm m để pt : $x^2-(2m+4)x+3m+2=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thoả mãn $x_2=2x_1+3$.
Bài 2:
a) Giải pt : $\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x+13}=\frac{x-7}{3}$.
Bài 3:
Cho 2 điểm $A,B$ cố định . Một điểm C khác B di chuyển trên $(O)$ đường kính AB sao cho $AC>BC$ . Tiếp tuyến tại C của $(O)$ cắt tiếp tuyến tại A ở D , cắt AB ở E . Hạ AH vuông góc CD tại H.
a) Chứng mình : $AD.CE=CH.DE$.
b) Chứng minh $OD.BC$ là 1 hằng số.
c) Giả sử đường thẳng đi qua E vuông góc AB cắt AC,BD lần lượt tại F,G . Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh trực tâm IFG là điểm cố định.
Bài 4:
a) Chứng minh $x\geq y\geq 1$ thì $x+\frac{1}{x}\geq y+\frac{1}{y}$.
b) Cho $1\leq a,b,c\leq 2$ . Chứng minh $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$.
Bài 5:
a) Cho a,b là 2 số nguyên dương thoả mãn $a+20;b+13$ cùng chia hết 21 . Tìm số dư của phép chia $A=4^{a}+9^{b}+a+b$ cho 21.
b) Có thể phủ kín bảng 20x13 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới ( có thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát ) sao cho các miếng lát không chòm lên nhau không?
62) Đề thi vào lớp 10 môn Toán thành phố Hải Phòng năm học 2013 - 2014. Download.
61) Đề thi vào lớp 10 môn Toán không chuyên Hải Dương năm học 2013 - 2014. Download.
60) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Định năm học 2013 - 2014. Download.
59) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Ninh (chuyên+không chuyên) năm học 2013 - 2014. Download.
58) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ninh năm học 2013 - 2014. Download.
57) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đăk Nông năm học 2013 - 2014.
56) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Phước năm học 2013 - 2014. Download.
55) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 - 2014.
54) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Dương năm học 2013 - 2014. Download.
53) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Ninh Thuận năm học 2013 - 2014. Download.
52) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận năm học 2013 - 2014. Download.
51) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2013 - 2014.
50) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nam Định môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
49) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lạng Sơn môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
48) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Long An môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
47) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Đồng Tháp môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
46) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An môn Toán năm học 2013 - 2014.
Câu 1
a. Giải phương trình $(\sqrt{2x+3}+2)(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+1})=5$.
b. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}y+2y=3\\ y^{3}(3x-2)=1 \end{matrix}\right.$
Câu 2
Cho hai số nguyên $x$,$y$. Chứng minh rằng $(x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y)+y^{4}+2$ không thể là một số chính phương.
Câu 3
Cho các số thực $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a\geq 0$,$b\geq 0$, $c\geq 1$ và $a+b+c=2$.
Tìm GTLN của $T=(6-a^{2}-b^{2}-c^{2})(2-abc)$.
Câu 4
Cho đường tròn ($O$) đường kính $BC$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$ khác $B$. Kẻ các tiếp tuyến $AD$,$AE$ của ($O$) ($D$,$E$ là các tiếp điểm). Kẻ $DH$ vuông góc với $EC$ tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm của $DH$, $I$ là giao điểm của $AC$ và $DE$. $CK$ cắt ($O$) tại $Q$ khác $C$, $AQ$ cắt ($O$) tại $M$ khác $Q$. Chứng minh rằng
a. $AB.CI=AC.BI$
b. $QD$ vuông góc với $QI$
c. $DM$ song song với $OC$.
Câu 5
Trong mặt phẳng cho $7$ điểm (không có $3$ điểm nào thẳng hàng). Gọi $h$ là độ dài lớn nhất trong các đoạn thẳng nối $2$ trong $7$ điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ tam giác có các đỉnh là $3$ trong số $7$ điểm đã cho thoả mãn diện tích nhỏ hơn $\frac{h^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{24}$.
45) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nguyễn Du, tỉnh Dak Lak năm học 2013 - 2014. Download.
44) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nguyễn Tất Thành, tỉnh Yên Bái năm học 2013 - 2014.
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức $P=\left ( \frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}} +\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right ):\frac{(a+1)\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}{a+\sqrt{ab}+b}$
a) Tìm điều kiện của $a,b$ để $P$ có nghĩa rồi rút gọn $P$.
b) Tìm các giá trị nguyên của $a$ để $Q=P(3a+5)$ nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy-3y=4\\ 2x-3y+xy=3 \end{matrix}\right.$
2. Cho phương trình $x^{2}-mx+1=0$ $(1)$ (với $m$ là tham số).
a) Xác định các giá trị của $m$ để hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ (nếu có) của phương trình $(1)$ thỏa mãn đẳng thức
Câu 3. (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$, lấy $M$ là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn ($M$ không trùng với $A$ và $B$).
Kẻ đường cao $MH$ của tam giác $MAB$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $MA$ và $MB$.
a) Chứng minh tứ giác $ABFE$ nội tiếp được một đường tròn.
b) Kéo dài $EF$ cắt cung $MA$ tại $P$. Chứng minh $MP^{2}=MF.MB$, từ đó suy ra tam giác $MPH$ cân.
c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên nửa đường tròn $(O)$ để tứ giác $MEHF$ có diện tích lớn nhất.
Tìm diện tích của tứ giác đó theo $R$.
Câu 4. (1,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=0$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{x+z}{2x-z}+\frac{z+y}{2y-z}$.
43) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Khiết tỉnh Quảng Ngãi năm học 2013 - 2014.
Bài 1: (1,5d)
1. Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x^{2}+1}$ với $x\geq 0$.
2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng $(m-1)x+(2m+1)y=4m+5$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5d)
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}+xy+y^{2}=3x+y-1$.
Bài 3:(2,5d)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình $x^{2}+(m+2)x-m+1=0$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $\left | \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}} \right |=\frac{3}{10}.$
2. Giải hệ phương trình $(x+1)\sqrt{x}=2\sqrt{y}$ ; $(y+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}$
3. Giải phương trình $3(x^{2}-6)=8(\sqrt{x^{3}-1}-3).$
Bài 4: (3,5đ)
Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn ($AB<AC$) nội tiếp dường tròn $(O;R)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$. Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
1. Chứng minh rằng $BC=2R.sin\widehat{BAC}$.
2. Điểm $N$ chuyển động trên $BC$ ( $N$ khác $B$ và $C$). Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $AB, ẠC$. Xác định vị trí của $N$ để độ dài $EF$ ngắn nhất.
3. Đặt $BC=a, AC=b, AB=c$. Tính $MA$ theo $a,b,c$.
4. Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt đường thẳng $MA$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $HA$ là tia phân giác của góc $PHQ$.
Bài 5: (1đ)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
42) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ngãi năm học 2013 - 2014. Download.
41) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Hà nam năm học 2013 - 2014. Download.
40) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Lào Cai năm học 2013 - 2014. Download.
39) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Quốc Học Huế năm học 2013 - 2014.
Bài 1: (1.5đ) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}&=3\\(x+1)\sqrt{y}&=2\sqrt{x}\end{cases}.$$
Bài 2: (1.5đ) Cho phương trình $x^{4}+(1-m)x^{2}+2m-2=0$ (m là tham số)
1.Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
2.Trong trường hợp pt có 4 nghiệm phân biệt là $x_1, x_2, x_3, x_4$, hãy tìm các giá trị của $m$ sao cho
$$\frac{x_1x_2x_3}{2x_4}+\frac{x_1x_2x_4}{2x_3}+\frac{x_1x_3x_4}{2x_2}+\frac{x_2x_3x_4}{2x_1}=2013.$$
Bài 3: (1.5đ)
1. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$. Tính giá trị của biểu thức
$$T=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}.$$
2. Cho số tự nhiên có 2 chữ số. Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó được thương là $q$ dư $r$. Nếu đổi chỗ 2 chữ số của số đó cho tổng các chữ số của nó được thương $4q$ dư $r$. Tìm số đã cho.
Bài 4: (3 điểm)
1. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Lấy điểm $A$ trên đg tròn sao cho $AB>AC$ ($A$ khác $C$). Vẽ hình vuông $ABDE$ ($D$ và $E$ cùng nằm trên nửa mp bờ $AB$ không chứa $C$). Gọi $F$ là giao điểm thứ 2 của $AD$ với đường tròn và $K$ là giao điểm của $CF$ với $DE$. Chứng minh $KB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
2. Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng vuông góc với $CI$ tại $I$ cắt $CA, CB$ theo thứ tự tại $M,N$. Chứng minh:
a) $AM.BN = IM^{2}=IN^{2}$.
b) $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1.$
Bài 5: (2 điểm)
1. Cho 2 số dương a và b thỏa mãn điều kiện $a+b\leq 2$. Chứng minh $$\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq 128.$$
2. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số $n=100a+10b+c$ sao cho biểu thức $\frac{n}{a+b+c}$ đạy giá trị nhỏ nhất.
38) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2013 - 2014. Download.
37) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đắc Lắk năm học 2013 - 2014. Download.
36) Đề thi vào lớp 10 môn Toán THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2013 - 2014
Câu 1: Cho biểu thức $$P=\left ( \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \right ):\frac{2\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}}.$$
1. Rút gọn $P$.
2. Tìm giá trị của $x$ để $P=3$.
Câu 2: Cho hệ phương trình $ \left\{\begin{matrix} x+my=3m & & \\ mx-y=m^{2}-2 & & \end{matrix}\right.$
1. Giải hệ với $m=3$.
2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $ x^{2}-x-y> 0$.
Câu 3: Giải phương trình $$ \left ( \frac{x-1}{x+2} \right )^{2}-4\left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-4} \right )+3\left ( \frac{x+1}{x-2} \right )^{2}=0.$$
Câu 4: Cho 3 điểm $A,B,C$ phân biệt thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho $ AB\neq BC$ . Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AC$ dựng các hình vuông $ABDE$ và $BCFK$. Gọi $I$ là trung điểm của $EF$, đường thẳng qua $I$ vuông góc với $EF$ cắt các đường thẳng $BD$ và $AB$ lần lượt tại $M$ và $N$. CMR:
1. Các tứ giác $AEIN$ và $EMDI$ nội tiếp,
2. Ba điểm $A, I, D$ thẳng hàng và $B, N, E, M, F$ cùng thuộc 1 đường tròn.
3. $AK, EF, CD$ đồng quy,
Câu 5: Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $ x+y+z=9$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$S=\dfrac{y^3}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{z^3}{y^2+yz+z^2 }+\dfrac{x^3}{z^2+zx+x^2}.$$
35) Đề thi vào 10 chuyên toán tin chuyên lam sơn Thanh Hóa
Bài 1 (2,0 điểm): Tính giá trị biểu thức: $$P=\frac{1+2x}{1+\sqrt{1+2x}}+\frac{1-2x}{1-\sqrt{1-2x}}$$ với $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Bài 2 (2,0 điểm):
1. Cho phương trình :$mx^{2}-(m+3)x+2m+1=0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $(2+x_{1}-x_{2})(2-x_{1}+x_{2})=0$.
2. Giải phương trình:$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=11$.
Bài 3 (2,0điểm): Chứng minh rằng nếu $m$ là số nguyên và $a$ là nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-4x^{3}+(3+m)x^{2}-x+m=0$ thì $a$ là 1 số chẵn.
Bài 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm $A,B,C$ thẳng hàng thêo thứ tự đó thỏa mãn điều kiện $AB<AC$. Trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $AC$ đựng các nửa đường tròn đường kính $AC, AB, BC$ có tâm lần lượt là$O, O_{1}, O_{2}$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AC$ cắt nửa đường tròn đường kính $AC$ tại $D$. Các điểm $E, F$ phân biệt lần lượt nằm trên các nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ sao cho đường thẳng $EF$ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác $AEFC$ nội tiếp được trong 1 đường tròn.
2. $OD$ vuông góc với $EF$.
Bài 5(1,0 điểm): Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn:$5x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2xyz=60$. Tìm GTLN của biểu thức P=$x+y+z$.
34) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm học 2013 - 2014. Download.
33) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Quý Đôn, Đà Nẵng năm học 2013 - 2014.
Bài 1. (2,5 điểm)
a/ Tìm các nghiệm của phương trình $2x^{2}+4x +3a=0(1)$, biết rằng phương trình (1) có một nghiệm là số đối của một nghiệm nào đó của phương trình $2x^{2}-4x -3a=0$
b/ Cho hệ thức $x^{2}+(x^2 + 2)y+6x+9=0$ với x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Bài 2. (2,5 điểm)
a/ Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x^4+1)(y^4+1)=4xy\\ \sqrt[3]{x-1}-\sqrt{y-1}=1-x^3 \end{matrix}\right.$
b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho $2x - 2\sqrt{y+2}=2\sqrt{2x+1}-y$
Bài 3. (3,5 điểm)
Cho đoạn thẳng BC có M là trung điểm . Gọi H là một điểm của đoạn thẳng BM (H khác các điểm B và M). Trên đường thẳng vuông góc với BC tại H lấy điểm A sao cho $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đoạn thẳng BC tại điểm thứ hai ở D và cắt đoạn thẳng AC tại E. Gọi P là giao điểm của AM và EB.
a/ Đặt AB = r, tính tích DH.AM theo r.
b/ Gọi $h_{1},h_{2},h_{3}$ lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến các đường thẳng BC, Ca, AB. Chứng minh rằng $\frac{h_{2}}{AB}+\frac{h_{3}}{AC}<1-\frac{2h_{1}}{BC}$
c/ Gọi Q là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPM. Chứng minh rằng tứ giác BCEQ là tứ giác nội tiếp.
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho một tháp số (gồm 20 ô vuông giống nhau) như hình vẽ. Mỗi ô vuông được ghi một số nguyên dương n với $1\leq n\leq 20$, hai ô vuông bất kỳ không được ghi cùng một số. Ta quy định trong tháp số này 2 ô vuông kề nhau là 2 ô vuông có chung cạnh. Hỏi có thể có cách ghi nào thỏa mãn điều kiện: Chọn 1 ô vuông bất kỳ (khác với các ô vuông được đặt tên a, b, c, d, e, f, g, h như hình vẽ) thì tổng của số được ghi trong ô đó và các số được ghi trong 3 ô vuông kề với nó chia hết cho 4 ?
32) Đề thi + Đáp án vào lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 - 2014. Download.
31) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Quý Đôn, tỉnh Khánh Hòa năm học 2013 - 2014.
30) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Hồng Phong, Trần Đại Nghĩa..Thành phố Hồ Chí MInh năm học 2013 - 2014.
Câu 1.
a) Giải phương trình: $x\sqrt{2x-2}+5x=9$.
b) Cho ba số thực $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$. Tính giá trị biểu thức: $$A=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{zx}{y^2+2zx}+\dfrac {xy}{z^2+2xy}$$
Câu 2.
Cho phương trình: $x^2-5mx+4m=0\quad(1)$.
a) Định $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1 +12m}{m^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3.
Cho $\Delta ABC$ có $BC$ là cạnh dài nhất. Trên cạnh $BC$ lấy các điểm $D,E$ sao cho $BD=BA$, $CE=CA$. Đường thẳng qua $D$ và song song $AB$ cắt $AC$ tại $M$. Đường thẳng qua $E$ và song song $AC$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh $AM=AN$.
Câu 4.
Cho $x,y$ là hai số dương thỏa mãn $x+y=1$.
Chứng minh rằng: $3(3x-2)^2+\dfrac{8x}{y}\ge 7$.
Câu 5.
Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ và cát tuyến $AEF$ đến đường tròn ($EF$ không qua $O$ và $B,C$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $O$. $DE,DF$ cắt $AO$ theo thứ tự ở $M$ và $N$. Chứng minh:
a) $\Delta CEF \sim \Delta DNM$.
b) $OM=ON$.
Câu 6.
Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số $M=a^2+ab+b^2;a,b\in \mathbb{N^*}$ là $0$.
a) Chứng minh rằng $M$ chia hết cho $20$.
b) Tìm chữ số hàng chục của $M$.
29) Đề thi vào lớp 10 môn Toán Thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014. Download.
28) Đề thi vào lớp 10 môn Toán Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014. Download.
27) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Khánh Hòa năm học 2013 - 2014. Download.
26) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Lâm Đồng năm học 2013 - 2014 (toán chung+chuyên). Download.
25) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Thái Bình năm học 2013 - 2014.
24) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lương Thế Vinh Đồng Nai năm học 2013 - 2014 (Toán chung). Toán chuyên xem số 11.
Bài 1.
a) Giải phương trình: $x^4+x^2-12=0$ (với $x\in\mathbb{R}$)
b) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x-3y=-5\\7x+11y=-23.\end{cases}$
Bài 2. Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{a^2}\left(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\right)}{\sqrt{a^2-2a+1}}$ (với $a\in\mathbb{R}$ và $a\geq 2)$.
a) Rút gọn biểu thức $P.$
b) Chứng minh rằng nếu $a$ là số thực và $a\geq 2$ thì $P\geq 4$.
Bài 3. Cho phương trình $x^2+2x-2m=0$ (với $x$ là ẩn số, $m$ là tham số thực)
a) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Cho $m$ là số thực dương. Gọi $x_1,\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, biết $x_1>x_2.$ Tính $U=\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}$ theo $m.$
Bài 4. Cho các hàm số $y=2x^2$ có đồ thị là $(P);\,y=kx=-2$ có đồ thị là $d$ (với $k$ là tham số thực).
a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số đã cho).
b) Tìm $k$ để điểm $M(x_M;\,y_M)$ thuộc cả hai đồ thị $(P)$ và $d$ đã cho, biết $y_M=2$ và $x_M>0$.
Bài 5. Nếu cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể (chưa có nước) trong thời gian $1$ giờ $12$ phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong $20$ phút và vòi thứ hai chảy trong $45$ phút thì chỉ được $\dfrac{5}{12}$ bể.
Khi mở riêng từng vòi. Tính thời gian để mỗi vòi khi chảy riêng đầy bể.
Bài 6. Cho đường tròn $(O)$ tâm $O$ đường kính $AB=2R.$ Lấy điểm $C$ thuộc đường tròn $(O)$, với $C\not\equiv A,\,B.$ Lấy điểm $D$ thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $ (O),$ với $D\not\equiv B,\,C.$ Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $B$ cắt các đường thẳng $AC,\,AD$ theo thứ tự tại các điểm $M,\,N.$
a) Chứng minh tứ giác $CDNM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $AD.AN=AC.AM=4R^2.$
c) Vẽ đường kính $CE$ của nửa đường tròn $(O).$ Vẽ đường kính $CF$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CDNM.$ Chứng minh ba điểm $D,\,E,\,F$ thẳng hàng.
23) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình năm học 2013 - 2014 (Toán chuyên).
22) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2013 - 2014.
21) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Hà Nội - Amsterdam, chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội năm học 2013 - 2014.
Bài 1:
1) Tìm các số tự nhiên $n$ để $7^{2013}+3^{n}$ có chữ số hàng đơn vị là 8.
2) Cho $a, b$ là các số tự nhiên lớn hơn 2 và $p$ là số tự nhiên thỏa mãn $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$. Chứng minh $p$ là hợp số.
Bài 2:
1) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn
$x^{2} -3y^{2}+2xy-2x+6y-8=0$.
2) Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}2x^{2}+xy+3y^{2} -2y-4&=0\\3x^{2} +5y^{2} +4x-12&=0\end{cases}$$
Bài 3: Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a+b+4ab=4a^{2}+4b^{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=20(a^{3}+b^{3}) -6(a^{2}+b^{2})+2013.$$
Bài 4: Cho tam giác $ABC$ không phải là tam giác cân. Đường tròn $(O)$ tiếp xúc vói $BC, AC, AB$ lần lượt tại $M, N, P.$ Đường thẳng $NP$ cắt $BO, CO$ lần lượt tại $E$ và $F$.
1) Chứng minh rằng $ \widehat{OEN}$ và $\widehat{OCA}$ bằng nhau hoặc bù nhau.
2) Bốn điểm $B, C, E, F$ thuộc 1 đường tròn.
3) Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $OEF$. Chứng minh $O, M, K$ thẳng hàng.
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 6 điểm $A_{1}, A_{2},...,A_{6}$ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671 .Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.
20) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Ninh Bình năm học 2013 - 2014 (Toán chung).
19) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lê Quý Đôn Bình Định năm học 2013 - 2014. Download
18) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương năm học 2013 - 2014.
Bài 1: ($2$ điểm)
$1)$ Phân tích đa thức sau thành nhân tử
$a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$.
$2)$ Cho $x,y$ thỏa
$x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$.
Tính giá trị biểu thức sau
$A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$.
Bài 2: ($2$ điểm)
$1)$ Giải phương trình:
$(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$.
$2)$ Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012\\ \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 \end{matrix}\right.$
Bài 3: ($2$ điểm)
$1)$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^2+n+1$ không chia hết cho $9$
$2)$ Xét phương trình ẩn $x$: $x^2-m^2x+2m+2=0(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $(1)$ có nghiệm nguyên.
Bài 4: ($3$ điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB< AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,AC,BC$. $BO$ cắt $EF$ tại $I$. $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$.
$1)$ Tính số đo góc $BIF$.
$2)$ Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Chứng minh rằng nếu $AM=AB$ thì tứ giác $ABHI$ nội tiếp.
$3)$ Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của đường tròn $(O), P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của $M$ để độ dài đoạn $PQ$ lớn nhất.
Bài 5: ($1$ điểm)
Cho ba số a,b,c thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$$.
17) Đề thi vào lớp 10 môn Toán thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014. Xem ở đây/
16) Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu năm học 2013-2014 môn Toán (không chuyên). Toán chuyên xem số 1.
Bài 1: (2 điểm)
a/ Giải phương trình: $\sqrt{x+1}=x-2$
b/ Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là $a$ (mét), diện tích là $a$ (mét vuông) và đường chéo là $3\sqrt 5$ (mét)
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình $\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x^2 - 5x + m - 1} \right) = 0\quad \left( 1 \right)$
a/ Giải phương trình (1) khi $m=-1$
b/ Tìm $m$ để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa
\[
x_1 + x_2 + x_3 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1 .x_2 + x_2 .x_3 + x_3 .x_1 = 31
\]
Bài 3: (2 điểm)
a/ Với $0<b<a$, hãy rút gọn biểu thức\[
P = \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + a} - \sqrt {a - b} }} + \frac{{\sqrt {a + 2 + b} - \sqrt {a - b} }}{{b + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + a} + \sqrt {a - b} }}} \right)
\]\[:\left( {1 + \sqrt {\frac{{a + 2 + b}}{{a - b}}} } \right)\]
b/ Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)^2 = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \\ x - y = xy - 2 \\ \end{array} \right.$
Bài 4: (1 điểm)
Có hai vòi nước $A,B$ cùng cung cấp nước cho một hồ cạn nước và vòi $C$ (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng $6$ giờ, hai vòi $A$ và $B$ được mở; đến $7$ giờ vòi $C$ được mở; đến $9$ giờ thì đóng vòi $B$ và $C$; đến $10$ giờ $45$ phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi $B$ ngay từ đầu thì phải đến $13$ giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi $B$ là trung bình cộng của lưu lượng vòi $A$ và vòi $C$, hỏi một mình vòi $C$ tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?
Bài 5: (3 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AC$, $AC=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$.
a) Tính $BC$ và $CN$ theo $a$.
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $CMN$, $MH$ cắt $CN$ tại $E$, $MN$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh năm điểm $B,M,K,E,C$ cùng thuộc đường tròn $(T)$.
Đường tròn $(T)$ cắt $BD$ tại $F (F \ne B)$, tính $DF$ theo $a$.
c) $KF$ cắt $ME$ tại $I$. Chứng minh $KM$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIF$. Tính góc $IND$.
15) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 2).
Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử $n$ là số nguyên tố lớn hơn $2$. Chứng minh rằng $\frac{2013n^2+3}{8}$ là số nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình
Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ và $\widehat{A}\geq \widehat{B}\geq \widehat{C}$.
Chứng minh rằng $9ab\geq (a+b+c)^2$
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$. Gọi $H$ làg chân đường cao kẻ từ $A$, biết rằng $H$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ và không trùng với $B$ hoặc $C$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACH$ tại $D$ phân biệt với $A$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABH$ tại $E$ phân biệt với $A$.
a) Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng bốn điểm $I,J,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng $HA$ là tia phân giác của $\widehat{EHD}$.
c) Xác định mối liên hệ giữa $AB$, $AC$ và $AH$ để $DE$ tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
14) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 1).
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho
$\frac{1}{a-1966}+\frac{1}{b-2013}=1$.
Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình $x^2-2mx+m(m+1)=0$ ($*$).
a) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có nghiệm bé là $x_1$, nghiệm lớn là $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1+2x_2=0$.
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử $x$ và $y$ là các số dương có tổng bằng $1$. Đặt $S=xy+\frac{1}{xy}$.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.
b) Biểu thức $S$ có giá trị lớn nhất hay không? Vì sao?
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Gọi $M$, $N$, $P$ tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$.
a) Chứng minh rằng, điểm $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$.
b) Tính diện tích các tam giác $ABP$, $ABN$ và $ABM$.
13) Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Phú Thọ năm học 2013-2014 (18/6/2013). Download.
12) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị năm học 2013-2014
Câu 1( 2.5 điểm )
1. Cho biểu thức $P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-1$.
a ) Rút gọn $P$
b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên.
2. Hãy tính $A=2x^3+2x^2+1$ với $x= \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$
Câu 2 (1.5 điểm)
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác 0 thoã mãn $a+b+2c=0$.
Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm dương.
Câu 3 (1.5 điểm )
Giải phương trình $x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0$.
Câu 4 (1.5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình $$x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0.$$
Câu 5
1. Cho $(O;R)$ với dây cung $BC$ cố định $(BC<2R)$ và điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn . Gọi $H$ là trực tâm với $A',B',C'$ là các chân đường cao tương ứng.
a) CM $OA$ vuông góc $B'C'$.
b) CM $BA.BH = 2R.BA'$ . Từ đó suy ra tổng $BA . BH + CA . CH $ không đổi.
2. Cho tam giác $ABC$ nhọn $\widehat{A}=30^{\circ}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $M,N$ lần lượt là các điểm trên 2 cạnh $AB.AC$ . Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $HMN$ có chu vi nhỏ nhất.
11) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai) năm học 2013-2014 (Toán chuyên)
10) Đề thi vào lớp 10 trung học THực Hành, ĐH Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013-2014.
Câu 1: Cho phương trình : \[{x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m + 2 = 0\] ( m là tham số )
1) Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1 , x_2$ thỏa :$x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2} = 2$.
Câu 2: Cho hàm số :\[y = - \frac{{{x^2}}}{2}\,\,(P)\,\text{và}\,\,y = mx - 4\,\,\,\,(D)\] với $m \ne 0$.
1) Khi $m = 1$ , hãy vẽ $(P)$ và $(D)$ cùng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tìm tọa độ giao điểm của $(D)$ và $(P)$ bằng phép tính.
2) Tìm m để $(P)$ , $(D)$ và $(D')$ :$y = x + \frac{1}{2}$ đồng quy.
Câu 3: Cho biểu thức :
$$P = \frac{{3x + 5\sqrt x - 11}}{{x + \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} - 1$$ với $x \ge 0\,\,\text{và}\,x \ne 1$.
1) Rút gọn $P$.
2) Tìm $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
Câu 4: Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 4x + y = 0\\
{\left( {x + 2} \right)^4} + 5y = 16.
\end{array} \right.$
Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) có đường cao AH . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt AC tại N. Gọi E là điểm đối xứng của H qua AC , EN cắt AB tại M và cặt (O) tại điểm thứ hai D .
1) Chứng minh AD = AE.
2) Chứng minh HA là phân giác của góc MHN.
3) Chứng minh:
a/ 5 điểm A , E , C , M , H thuôc đường tròn (O1).
b/ 3 đường thẳng CM , BN , AH đồng quy.
4) DH cắt (O1) tại điểm thứ hai Q. Gọi I , K lần lụợt là trung điểm của DQ và BC . Chứng tỏ I thuộc đường tròn (AHK).
9) Đề thi vào lớp 10 chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang năm học 2013-2014 (Toán chung, ngày 15/6/2013). Download.
8) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh năm học 2013-2014
Câu 1. Cho biểu thức $P=\left ( \frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3} \right )\left ( \frac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}-10 \right )$
a. Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $P$ có nghĩa và rút gọn $P$.
b. Tìm các giá trị của $x$ để $P=30$.
Câu 2. Cho phương trình $3x^2+2(m-1)x-(2m+1)=0$ ($m$ là tham số).
a. Giải phương trình khi $m=-1$.
b. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $(x_1+1)(x_2+1)=x_1^2x_2+x_2^2x_1+2$.
Câu 3.
a. Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}=4$.
b. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 4xy^2-2x^2y=x-2y\\ 2x^3-x-8y+3=0 \end{matrix}\right.$
Câu 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$ và $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AB,AC$. Đường thẳng $DE$ cắt tia $CB$ tại $S$.
a. Chứng minh rằng $ADHE$ và $BCED$ là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
b. Đường thẳng $SA$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $M$ ($M$ khác$A$). Các đường thẳng $BM$ và $AC$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh $FA.FC+SB.SC=SF^2$.
Câu 5. Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng $$\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$$
7) Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong Nam Định năm học 2013-2014. Download.
6) Đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2013-2014. Download.
5) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm học 2013 - 2014 (vòng 2, ngày 9/6/2013)
Câu 1:
$1)$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3 = 1+y-x+xy\\ 7xy+y-x = 7 \end{matrix}\right.$$
$2)$ Giải phương trình:
$$x + 3 = \sqrt{1-x^2} + 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}.$$
Câu 2:
$1)$ Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn $x,y$:
$$ 5x^2 + 8y^2 = 20412. $$
$2)$ Với $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2}. $$
Câu 3:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ sao cho $P$ khác $B$, $C$, $H$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N$ khác $C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q$ khác $A$.
$1)$ Chứng minh $M,N,Q$ thẳng hàng.
$2)$ Giả dụ $AP$ là phân giác $\widehat{MAN}$. Chứng minh $PQ$ đi qua trung điểm của $BC$. Câu 4:
Giả dụ dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$
Hãy chứng minh $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}.$$
Câu 1: (2,5 điểm)
1, Các số thực $a,b,c$ đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức :
i) $(a+b)(b+c)(c+a)=abc$.
ii) $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$.
2, Các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab>2013a+2014b$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$a+b>(\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^2$$
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ $(a;b)$ thỏa mãn hệ phương trình:
66) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đồng Nai năm học 2013 - 2014. Download.
65) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Giang năm học 2013 - 2014. Download.
64) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Bình năm học 2013 - 2014. Download.
63) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Trần Phú, Hải Phòng năm học 2013 - 2014.
Bài 1: Cho $A=(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{x-3}{x+2\sqrt{x}+4}-\frac{7\sqrt{x}+10}{x\sqrt{x}-8}): (\frac{\sqrt{x}+7}{x+2\sqrt{x}+4})$.
Tìm $x$ sao cho $A<2$.
b) Tìm m để pt : $x^2-(2m+4)x+3m+2=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thoả mãn $x_2=2x_1+3$.
Bài 2:
a) Giải pt : $\sqrt{5x-1}-\sqrt{3x+13}=\frac{x-7}{3}$.
Bài 3:
Cho 2 điểm $A,B$ cố định . Một điểm C khác B di chuyển trên $(O)$ đường kính AB sao cho $AC>BC$ . Tiếp tuyến tại C của $(O)$ cắt tiếp tuyến tại A ở D , cắt AB ở E . Hạ AH vuông góc CD tại H.
a) Chứng mình : $AD.CE=CH.DE$.
b) Chứng minh $OD.BC$ là 1 hằng số.
c) Giả sử đường thẳng đi qua E vuông góc AB cắt AC,BD lần lượt tại F,G . Gọi I là trung điểm AE. Chứng minh trực tâm IFG là điểm cố định.
Bài 4:
a) Chứng minh $x\geq y\geq 1$ thì $x+\frac{1}{x}\geq y+\frac{1}{y}$.
b) Cho $1\leq a,b,c\leq 2$ . Chứng minh $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\leq 10$.
Bài 5:
a) Cho a,b là 2 số nguyên dương thoả mãn $a+20;b+13$ cùng chia hết 21 . Tìm số dư của phép chia $A=4^{a}+9^{b}+a+b$ cho 21.
b) Có thể phủ kín bảng 20x13 ô vuông bằng các miếng lát có một trong hai dạng dưới ( có thể xoay và sử dụng đồng thời cả hai dạng miếng lát ) sao cho các miếng lát không chòm lên nhau không?
62) Đề thi vào lớp 10 môn Toán thành phố Hải Phòng năm học 2013 - 2014. Download.
61) Đề thi vào lớp 10 môn Toán không chuyên Hải Dương năm học 2013 - 2014. Download.
60) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Định năm học 2013 - 2014. Download.
59) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bắc Ninh (chuyên+không chuyên) năm học 2013 - 2014. Download.
58) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ninh năm học 2013 - 2014. Download.
57) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đăk Nông năm học 2013 - 2014.
56) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Phước năm học 2013 - 2014. Download.
55) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Hà Tĩnh năm học 2013 - 2014.
54) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bình Dương năm học 2013 - 2014. Download.
53) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Ninh Thuận năm học 2013 - 2014. Download.
52) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Trần Hưng Đạo, Bình Thuận năm học 2013 - 2014. Download.
51) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2013 - 2014.
50) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Nam Định môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
49) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Lạng Sơn môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
48) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Long An môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
47) Đề thi vào lớp 10 tỉnh Đồng Tháp môn Toán năm học 2013 - 2014. Download.
46) Đề thi vào lớp 10 chuyên Phan Bội Châu, Nghệ An môn Toán năm học 2013 - 2014.
Câu 1
a. Giải phương trình $(\sqrt{2x+3}+2)(\sqrt{x+6}-\sqrt{x+1})=5$.
b. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{3}y+2y=3\\ y^{3}(3x-2)=1 \end{matrix}\right.$
Câu 2
Cho hai số nguyên $x$,$y$. Chứng minh rằng $(x-y)(x-2y)(x-3y)(x-4y)+y^{4}+2$ không thể là một số chính phương.
Câu 3
Cho các số thực $a$,$b$,$c$ thoả mãn $a\geq 0$,$b\geq 0$, $c\geq 1$ và $a+b+c=2$.
Tìm GTLN của $T=(6-a^{2}-b^{2}-c^{2})(2-abc)$.
Câu 4
Cho đường tròn ($O$) đường kính $BC$. Trên tia đối của tia $BC$ lấy điểm $A$ khác $B$. Kẻ các tiếp tuyến $AD$,$AE$ của ($O$) ($D$,$E$ là các tiếp điểm). Kẻ $DH$ vuông góc với $EC$ tại $H$. Gọi $K$ là trung điểm của $DH$, $I$ là giao điểm của $AC$ và $DE$. $CK$ cắt ($O$) tại $Q$ khác $C$, $AQ$ cắt ($O$) tại $M$ khác $Q$. Chứng minh rằng
a. $AB.CI=AC.BI$
b. $QD$ vuông góc với $QI$
c. $DM$ song song với $OC$.
Câu 5
Trong mặt phẳng cho $7$ điểm (không có $3$ điểm nào thẳng hàng). Gọi $h$ là độ dài lớn nhất trong các đoạn thẳng nối $2$ trong $7$ điểm đã cho. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất $1$ tam giác có các đỉnh là $3$ trong số $7$ điểm đã cho thoả mãn diện tích nhỏ hơn $\frac{h^{2}(4\pi -3\sqrt{3})}{24}$.
45) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nguyễn Du, tỉnh Dak Lak năm học 2013 - 2014. Download.
44) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Nguyễn Tất Thành, tỉnh Yên Bái năm học 2013 - 2014.
Câu 1. (1,5 điểm)
Cho biểu thức $P=\left ( \frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{ab}+b}-\frac{3a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{b}} +\frac{1}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}\right ):\frac{(a+1)\left ( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right )}{a+\sqrt{ab}+b}$
a) Tìm điều kiện của $a,b$ để $P$ có nghĩa rồi rút gọn $P$.
b) Tìm các giá trị nguyên của $a$ để $Q=P(3a+5)$ nhận giá trị nguyên.
Câu 2. (3,0 điểm)
1. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x^{2}+y^{2}+xy-3y=4\\ 2x-3y+xy=3 \end{matrix}\right.$
2. Cho phương trình $x^{2}-mx+1=0$ $(1)$ (với $m$ là tham số).
a) Xác định các giá trị của $m$ để hai nghiệm $x_{1},x_{2}$ (nếu có) của phương trình $(1)$ thỏa mãn đẳng thức
$x_{1}-2x_{2}=1$
b) Xác định các giá trị của $m$ để phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn $-2$.Câu 3. (3,5 điểm)
Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$, lấy $M$ là điểm tùy ý thuộc nửa đường tròn ($M$ không trùng với $A$ và $B$).
Kẻ đường cao $MH$ của tam giác $MAB$. Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $MA$ và $MB$.
a) Chứng minh tứ giác $ABFE$ nội tiếp được một đường tròn.
b) Kéo dài $EF$ cắt cung $MA$ tại $P$. Chứng minh $MP^{2}=MF.MB$, từ đó suy ra tam giác $MPH$ cân.
c) Xác định vị trí của điểm $M$ trên nửa đường tròn $(O)$ để tứ giác $MEHF$ có diện tích lớn nhất.
Tìm diện tích của tứ giác đó theo $R$.
Câu 4. (1,0 điểm)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình:
$2x^{2}+3y^{2}+4x-19=0$
Câu 5. (1,0 điểm)
Cho ba số dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}-\frac{2}{z}=0$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $T=\frac{x+z}{2x-z}+\frac{z+y}{2y-z}$.
43) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Khiết tỉnh Quảng Ngãi năm học 2013 - 2014.
Bài 1: (1,5d)
1. Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{\frac{x^{2}-\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}+\frac{x^{2}+\sqrt{x}}{x-\sqrt{x}+1}+x^{2}+1}$ với $x\geq 0$.
2. Chứng minh khi giá trị của m thay đổi thì các đường thẳng $(m-1)x+(2m+1)y=4m+5$ luôn đi qua một điểm cố định. Tìm điểm cố định đó.
Bài 2: (1,5d)
1. Tìm số chính phương có 4 chữ số, biết rằng khi giảm mỗi chữ số một đơn vị thì số mới được tạo thành cũng là một số chính phương có 4 chữ số.
2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình $x^{2}+xy+y^{2}=3x+y-1$.
Bài 3:(2,5d)
1. Tìm các giá trị của m để phương trình $x^{2}+(m+2)x-m+1=0$ có 2 nghiệm $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $\left | \frac{1}{x_{1}}-\frac{1}{x_{2}} \right |=\frac{3}{10}.$
2. Giải hệ phương trình $(x+1)\sqrt{x}=2\sqrt{y}$ ; $(y+1)\sqrt{y}=2\sqrt{x}$
3. Giải phương trình $3(x^{2}-6)=8(\sqrt{x^{3}-1}-3).$
Bài 4: (3,5đ)
Cho tam giác $ABC$ có 3 góc nhọn ($AB<AC$) nội tiếp dường tròn $(O;R)$. Tiếp tuyến tại $A$ của $(O)$ cắt đường thẳng $BC$ tại $M$. Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC$.
1. Chứng minh rằng $BC=2R.sin\widehat{BAC}$.
2. Điểm $N$ chuyển động trên $BC$ ( $N$ khác $B$ và $C$). Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu của $N$ lên $AB, ẠC$. Xác định vị trí của $N$ để độ dài $EF$ ngắn nhất.
3. Đặt $BC=a, AC=b, AB=c$. Tính $MA$ theo $a,b,c$.
4. Các tiếp tuyến tại $B$ và $C$ của $(O)$ cắt đường thẳng $MA$ lần lượt tại $P$ và $Q$. Chứng minh rằng $HA$ là tia phân giác của góc $PHQ$.
Bài 5: (1đ)
Trong tam giác đều có cạnh bằng 8 đặt 193 điểm phân biệt. Chứng minh tồn tại 2 điểm trong 193 điểm đã cho có khoảng cách không vượt quá $\frac{\sqrt{3}}{3}$.
42) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Quảng Ngãi năm học 2013 - 2014. Download.
41) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Hà nam năm học 2013 - 2014. Download.
40) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Lào Cai năm học 2013 - 2014. Download.
39) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Quốc Học Huế năm học 2013 - 2014.
Bài 1: (1.5đ) Giải hệ phương trình $$\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+\frac{1}{\sqrt{y}}&=3\\(x+1)\sqrt{y}&=2\sqrt{x}\end{cases}.$$
Bài 2: (1.5đ) Cho phương trình $x^{4}+(1-m)x^{2}+2m-2=0$ (m là tham số)
1.Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.
2.Trong trường hợp pt có 4 nghiệm phân biệt là $x_1, x_2, x_3, x_4$, hãy tìm các giá trị của $m$ sao cho
$$\frac{x_1x_2x_3}{2x_4}+\frac{x_1x_2x_4}{2x_3}+\frac{x_1x_3x_4}{2x_2}+\frac{x_2x_3x_4}{2x_1}=2013.$$
Bài 3: (1.5đ)
1. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn điều kiện $x+y+z+\sqrt{xyz}=4$. Tính giá trị của biểu thức
$$T=\sqrt{x(4-y)(4-z)}+\sqrt{y(4-z)(4-x)}+\sqrt{z(4-x)(4-y)}-\sqrt{xyz}.$$
2. Cho số tự nhiên có 2 chữ số. Khi chia số đó cho tổng các chữ số của nó được thương là $q$ dư $r$. Nếu đổi chỗ 2 chữ số của số đó cho tổng các chữ số của nó được thương $4q$ dư $r$. Tìm số đã cho.
Bài 4: (3 điểm)
1. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $BC$. Lấy điểm $A$ trên đg tròn sao cho $AB>AC$ ($A$ khác $C$). Vẽ hình vuông $ABDE$ ($D$ và $E$ cùng nằm trên nửa mp bờ $AB$ không chứa $C$). Gọi $F$ là giao điểm thứ 2 của $AD$ với đường tròn và $K$ là giao điểm của $CF$ với $DE$. Chứng minh $KB$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
2. Cho tam giác $ABC$ có $BC=a,CA=b,AB=c$. Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Đường thẳng vuông góc với $CI$ tại $I$ cắt $CA, CB$ theo thứ tự tại $M,N$. Chứng minh:
a) $AM.BN = IM^{2}=IN^{2}$.
b) $\frac{IA^{2}}{bc}+\frac{IB^{2}}{ac}+\frac{IC^{2}}{ab}=1.$
Bài 5: (2 điểm)
1. Cho 2 số dương a và b thỏa mãn điều kiện $a+b\leq 2$. Chứng minh $$\frac{(a+1)^{6}}{b^{5}}+\frac{(b+1)^{6}}{a^{5}}\geq 128.$$
2. Tìm số tự nhiên có 3 chữ số $n=100a+10b+c$ sao cho biểu thức $\frac{n}{a+b+c}$ đạy giá trị nhỏ nhất.
38) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Thừa Thiên Huế năm học 2013 - 2014. Download.
37) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Đắc Lắk năm học 2013 - 2014. Download.
36) Đề thi vào lớp 10 môn Toán THPT chuyên Lam Sơn, Thanh Hóa năm học 2013 - 2014
Câu 1: Cho biểu thức $$P=\left ( \frac{2}{\sqrt{x}}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} \right ):\frac{2\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}}.$$
1. Rút gọn $P$.
2. Tìm giá trị của $x$ để $P=3$.
Câu 2: Cho hệ phương trình $ \left\{\begin{matrix} x+my=3m & & \\ mx-y=m^{2}-2 & & \end{matrix}\right.$
1. Giải hệ với $m=3$.
2. Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thỏa mãn $ x^{2}-x-y> 0$.
Câu 3: Giải phương trình $$ \left ( \frac{x-1}{x+2} \right )^{2}-4\left ( \frac{x^{2}-1}{x^{2}-4} \right )+3\left ( \frac{x+1}{x-2} \right )^{2}=0.$$
Câu 4: Cho 3 điểm $A,B,C$ phân biệt thẳng hàng và theo thứ tự đó sao cho $ AB\neq BC$ . Trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng $AC$ dựng các hình vuông $ABDE$ và $BCFK$. Gọi $I$ là trung điểm của $EF$, đường thẳng qua $I$ vuông góc với $EF$ cắt các đường thẳng $BD$ và $AB$ lần lượt tại $M$ và $N$. CMR:
1. Các tứ giác $AEIN$ và $EMDI$ nội tiếp,
2. Ba điểm $A, I, D$ thẳng hàng và $B, N, E, M, F$ cùng thuộc 1 đường tròn.
3. $AK, EF, CD$ đồng quy,
Câu 5: Cho 3 số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn $ x+y+z=9$. Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$S=\dfrac{y^3}{x^2+xy+y^2}+\dfrac{z^3}{y^2+yz+z^2 }+\dfrac{x^3}{z^2+zx+x^2}.$$
35) Đề thi vào 10 chuyên toán tin chuyên lam sơn Thanh Hóa
Bài 1 (2,0 điểm): Tính giá trị biểu thức: $$P=\frac{1+2x}{1+\sqrt{1+2x}}+\frac{1-2x}{1-\sqrt{1-2x}}$$ với $x=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
Bài 2 (2,0 điểm):
1. Cho phương trình :$mx^{2}-(m+3)x+2m+1=0$ với $m$ là tham số. Tìm $m$ để phương trình có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn hệ thức $(2+x_{1}-x_{2})(2-x_{1}+x_{2})=0$.
2. Giải phương trình:$x^{2}+\frac{25x^{2}}{(x+5)^{2}}=11$.
Bài 3 (2,0điểm): Chứng minh rằng nếu $m$ là số nguyên và $a$ là nghiệm nguyên của phương trình: $x^{4}-4x^{3}+(3+m)x^{2}-x+m=0$ thì $a$ là 1 số chẵn.
Bài 4 (3,0 điểm): Cho 3 điểm $A,B,C$ thẳng hàng thêo thứ tự đó thỏa mãn điều kiện $AB<AC$. Trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng $AC$ đựng các nửa đường tròn đường kính $AC, AB, BC$ có tâm lần lượt là$O, O_{1}, O_{2}$. Đường thẳng qua $B$ vuông góc với $AC$ cắt nửa đường tròn đường kính $AC$ tại $D$. Các điểm $E, F$ phân biệt lần lượt nằm trên các nửa đường tròn đường kính $AB$ và $BC$ sao cho đường thẳng $EF$ là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn đó. Chứng minh rằng:
1. Tứ giác $AEFC$ nội tiếp được trong 1 đường tròn.
2. $OD$ vuông góc với $EF$.
Bài 5(1,0 điểm): Cho các số thực dương $x,y$ thỏa mãn:$5x^{2}+4y^{2}+3z^{2}+2xyz=60$. Tìm GTLN của biểu thức P=$x+y+z$.
34) Đáp án Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Nghệ An năm học 2013 - 2014. Download.
33) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Quý Đôn, Đà Nẵng năm học 2013 - 2014.
Bài 1. (2,5 điểm)
a/ Tìm các nghiệm của phương trình $2x^{2}+4x +3a=0(1)$, biết rằng phương trình (1) có một nghiệm là số đối của một nghiệm nào đó của phương trình $2x^{2}-4x -3a=0$
b/ Cho hệ thức $x^{2}+(x^2 + 2)y+6x+9=0$ với x, y là các số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của y.
Bài 2. (2,5 điểm)
a/ Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} (x^4+1)(y^4+1)=4xy\\ \sqrt[3]{x-1}-\sqrt{y-1}=1-x^3 \end{matrix}\right.$
b/ Tìm các số nguyên x, y sao cho $2x - 2\sqrt{y+2}=2\sqrt{2x+1}-y$
Bài 3. (3,5 điểm)
Cho đoạn thẳng BC có M là trung điểm . Gọi H là một điểm của đoạn thẳng BM (H khác các điểm B và M). Trên đường thẳng vuông góc với BC tại H lấy điểm A sao cho $\widehat{BAH}=\widehat{MAC}$. Đường tròn tâm A bán kính AB cắt đoạn thẳng BC tại điểm thứ hai ở D và cắt đoạn thẳng AC tại E. Gọi P là giao điểm của AM và EB.
a/ Đặt AB = r, tính tích DH.AM theo r.
b/ Gọi $h_{1},h_{2},h_{3}$ lần lượt là khoảng cách từ điểm P đến các đường thẳng BC, Ca, AB. Chứng minh rằng $\frac{h_{2}}{AB}+\frac{h_{3}}{AC}<1-\frac{2h_{1}}{BC}$
c/ Gọi Q là giao điểm thứ hai của hai đường tròn ngoại tiếp hai tam giác APE và BPM. Chứng minh rằng tứ giác BCEQ là tứ giác nội tiếp.
Bài 4. (1,5 điểm)
Cho một tháp số (gồm 20 ô vuông giống nhau) như hình vẽ. Mỗi ô vuông được ghi một số nguyên dương n với $1\leq n\leq 20$, hai ô vuông bất kỳ không được ghi cùng một số. Ta quy định trong tháp số này 2 ô vuông kề nhau là 2 ô vuông có chung cạnh. Hỏi có thể có cách ghi nào thỏa mãn điều kiện: Chọn 1 ô vuông bất kỳ (khác với các ô vuông được đặt tên a, b, c, d, e, f, g, h như hình vẽ) thì tổng của số được ghi trong ô đó và các số được ghi trong 3 ô vuông kề với nó chia hết cho 4 ?
32) Đề thi + Đáp án vào lớp 10 môn Toán tỉnh Vĩnh Phúc năm học 2013 - 2014. Download.
31) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Quý Đôn, tỉnh Khánh Hòa năm học 2013 - 2014.
30) Đề thi vào lớp 10 chuyên Toán Lê Hồng Phong, Trần Đại Nghĩa..Thành phố Hồ Chí MInh năm học 2013 - 2014.
Câu 1.
a) Giải phương trình: $x\sqrt{2x-2}+5x=9$.
b) Cho ba số thực $x,y,z$ đôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện $\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=0$. Tính giá trị biểu thức: $$A=\dfrac{yz}{x^2+2yz}+\dfrac{zx}{y^2+2zx}+\dfrac {xy}{z^2+2xy}$$
Câu 2.
Cho phương trình: $x^2-5mx+4m=0\quad(1)$.
a) Định $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt.
b) Gọi $x_1,x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm $m$ để biểu thức $A=\dfrac{m^2}{x_1^2+5mx_2+12m}+\dfrac{x_2^2+5mx_1 +12m}{m^2}$ đạt giá trị nhỏ nhất.
Câu 3.
Cho $\Delta ABC$ có $BC$ là cạnh dài nhất. Trên cạnh $BC$ lấy các điểm $D,E$ sao cho $BD=BA$, $CE=CA$. Đường thẳng qua $D$ và song song $AB$ cắt $AC$ tại $M$. Đường thẳng qua $E$ và song song $AC$ cắt $AB$ tại $N$. Chứng minh $AM=AN$.
Câu 4.
Cho $x,y$ là hai số dương thỏa mãn $x+y=1$.
Chứng minh rằng: $3(3x-2)^2+\dfrac{8x}{y}\ge 7$.
Câu 5.
Từ điểm $A$ ở ngoài đường tròn $(O)$ vẽ các tiếp tuyến $AB, AC$ và cát tuyến $AEF$ đến đường tròn ($EF$ không qua $O$ và $B,C$ là các tiếp điểm). Gọi $D$ là điểm đối xứng của $B$ qua $O$. $DE,DF$ cắt $AO$ theo thứ tự ở $M$ và $N$. Chứng minh:
a) $\Delta CEF \sim \Delta DNM$.
b) $OM=ON$.
Câu 6.
Chữ số hàng đơn vị trong hệ thập phân của số $M=a^2+ab+b^2;a,b\in \mathbb{N^*}$ là $0$.
a) Chứng minh rằng $M$ chia hết cho $20$.
b) Tìm chữ số hàng chục của $M$.
29) Đề thi vào lớp 10 môn Toán Thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014. Download.
28) Đề thi vào lớp 10 môn Toán Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014. Download.
27) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Khánh Hòa năm học 2013 - 2014. Download.
26) Đề thi vào lớp 10 môn Toán tỉnh Lâm Đồng năm học 2013 - 2014 (toán chung+chuyên). Download.
25) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Thái Bình năm học 2013 - 2014.
Bài 1.
a) Giải phương trình: $x^4+x^2-12=0$ (với $x\in\mathbb{R}$)
b) Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 2x-3y=-5\\7x+11y=-23.\end{cases}$
Bài 2. Cho biểu thức $P=\dfrac{\sqrt{a^2}\left(\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}\right)}{\sqrt{a^2-2a+1}}$ (với $a\in\mathbb{R}$ và $a\geq 2)$.
a) Rút gọn biểu thức $P.$
b) Chứng minh rằng nếu $a$ là số thực và $a\geq 2$ thì $P\geq 4$.
Bài 3. Cho phương trình $x^2+2x-2m=0$ (với $x$ là ẩn số, $m$ là tham số thực)
a) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.
b) Cho $m$ là số thực dương. Gọi $x_1,\,x_2$ là hai nghiệm của phương trình đã cho, biết $x_1>x_2.$ Tính $U=\dfrac{1}{x_1}-\dfrac{1}{x_2}$ theo $m.$
Bài 4. Cho các hàm số $y=2x^2$ có đồ thị là $(P);\,y=kx=-2$ có đồ thị là $d$ (với $k$ là tham số thực).
a) Vẽ đồ thị $(P)$ của hàm số đã cho).
b) Tìm $k$ để điểm $M(x_M;\,y_M)$ thuộc cả hai đồ thị $(P)$ và $d$ đã cho, biết $y_M=2$ và $x_M>0$.
Bài 5. Nếu cho hai vòi nước cùng chảy vào một bể (chưa có nước) trong thời gian $1$ giờ $12$ phút thì đầy bể. Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong $20$ phút và vòi thứ hai chảy trong $45$ phút thì chỉ được $\dfrac{5}{12}$ bể.
Khi mở riêng từng vòi. Tính thời gian để mỗi vòi khi chảy riêng đầy bể.
Bài 6. Cho đường tròn $(O)$ tâm $O$ đường kính $AB=2R.$ Lấy điểm $C$ thuộc đường tròn $(O)$, với $C\not\equiv A,\,B.$ Lấy điểm $D$ thuộc cung nhỏ $BC$ của đường tròn $ (O),$ với $D\not\equiv B,\,C.$ Tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại điểm $B$ cắt các đường thẳng $AC,\,AD$ theo thứ tự tại các điểm $M,\,N.$
a) Chứng minh tứ giác $CDNM$ là tứ giác nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh $AD.AN=AC.AM=4R^2.$
c) Vẽ đường kính $CE$ của nửa đường tròn $(O).$ Vẽ đường kính $CF$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $CDNM.$ Chứng minh ba điểm $D,\,E,\,F$ thẳng hàng.
23) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Lương Văn Tụy, Ninh Bình năm học 2013 - 2014 (Toán chuyên).
22) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Bà Rịa Vũng Tàu năm học 2013 - 2014.
21) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Hà Nội - Amsterdam, chuyên Nguyễn Huệ Hà Nội năm học 2013 - 2014.
Bài 1:
1) Tìm các số tự nhiên $n$ để $7^{2013}+3^{n}$ có chữ số hàng đơn vị là 8.
2) Cho $a, b$ là các số tự nhiên lớn hơn 2 và $p$ là số tự nhiên thỏa mãn $\frac{1}{p}=\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}$. Chứng minh $p$ là hợp số.
Bài 2:
1) Tìm các số nguyên $x,y$ thỏa mãn
$x^{2} -3y^{2}+2xy-2x+6y-8=0$.
2) Giải hệ phương trình
$$\begin{cases}2x^{2}+xy+3y^{2} -2y-4&=0\\3x^{2} +5y^{2} +4x-12&=0\end{cases}$$
Bài 3: Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a+b+4ab=4a^{2}+4b^{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$A=20(a^{3}+b^{3}) -6(a^{2}+b^{2})+2013.$$
Bài 4: Cho tam giác $ABC$ không phải là tam giác cân. Đường tròn $(O)$ tiếp xúc vói $BC, AC, AB$ lần lượt tại $M, N, P.$ Đường thẳng $NP$ cắt $BO, CO$ lần lượt tại $E$ và $F$.
1) Chứng minh rằng $ \widehat{OEN}$ và $\widehat{OCA}$ bằng nhau hoặc bù nhau.
2) Bốn điểm $B, C, E, F$ thuộc 1 đường tròn.
3) Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $OEF$. Chứng minh $O, M, K$ thẳng hàng.
Bài 5: Trong mặt phẳng cho 6 điểm $A_{1}, A_{2},...,A_{6}$ trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong 3 điểm luôn có 2 điểm có khoảng cách nhỏ hơn 671 .Chứng minh rằng trong 6 điểm đã cho luôn tồn tại 3 điểm là 3 đỉnh của 1 tam giác có chu vi nhỏ hơn 2013.
20) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên toán Ninh Bình năm học 2013 - 2014 (Toán chung).
18) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương năm học 2013 - 2014.
Bài 1: ($2$ điểm)
$1)$ Phân tích đa thức sau thành nhân tử
$a^2(b-2c)+b^2(c-a)+2c^2(a-b)+abc$.
$2)$ Cho $x,y$ thỏa
$x=\sqrt[3]{y-\sqrt{y^2+1}}+\sqrt[3]{y+\sqrt{y^2+1}}$.
Tính giá trị biểu thức sau
$A=x^4+x^3y+3x^2+xy-2y^2+1$.
Bài 2: ($2$ điểm)
$1)$ Giải phương trình:
$(x^2-4x+11)(x^4-8x^2+21)=35$.
$2)$ Giải hệ phương trình sau
$\left\{\begin{matrix} (x+\sqrt{x^2+2012})(y+\sqrt{y^2+2012})=2012\\ \\ x^2+z^2-4(y+z)+8=0 \end{matrix}\right.$
Bài 3: ($2$ điểm)
$1)$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên $n$ thì $n^2+n+1$ không chia hết cho $9$
$2)$ Xét phương trình ẩn $x$: $x^2-m^2x+2m+2=0(1)$. Tìm $m$ nguyên dương để $(1)$ có nghiệm nguyên.
Bài 4: ($3$ điểm)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ có $AB< AC$ ngoại tiếp đường tròn tâm $O$. Gọi $D,E,F$ lần lượt là tiếp điểm của $(O)$ với các cạnh $AB,AC,BC$. $BO$ cắt $EF$ tại $I$. $M$ là điểm di chuyển trên đoạn $CE$.
$1)$ Tính số đo góc $BIF$.
$2)$ Gọi $H$ là giao điểm của $BM$ và $EF$. Chứng minh rằng nếu $AM=AB$ thì tứ giác $ABHI$ nội tiếp.
$3)$ Gọi $N$ là giao điểm của $BM$ với cung nhỏ $EF$ của đường tròn $(O), P$ và $Q$ lần lượt là hình chiếu của $N$ trên các đường thẳng $DE,DF$. Xác định vị trí của $M$ để độ dài đoạn $PQ$ lớn nhất.
Bài 5: ($1$ điểm)
Cho ba số a,b,c thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$$B=(a+b+c+3)(\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1})$$.
17) Đề thi vào lớp 10 môn Toán thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014. Xem ở đây/
16) Đề thi tuyển sinh lớp 10 Trường Phổ thông Năng khiếu năm học 2013-2014 môn Toán (không chuyên). Toán chuyên xem số 1.
Bài 1: (2 điểm)
a/ Giải phương trình: $\sqrt{x+1}=x-2$
b/ Tìm chiều dài của một hình chữ nhật có chu vi là $a$ (mét), diện tích là $a$ (mét vuông) và đường chéo là $3\sqrt 5$ (mét)
Bài 2: (2 điểm)
Cho phương trình $\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x^2 - 5x + m - 1} \right) = 0\quad \left( 1 \right)$
a/ Giải phương trình (1) khi $m=-1$
b/ Tìm $m$ để phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt $x_1,x_2,x_3$ thỏa
\[
x_1 + x_2 + x_3 + x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_1 .x_2 + x_2 .x_3 + x_3 .x_1 = 31
\]
Bài 3: (2 điểm)
a/ Với $0<b<a$, hãy rút gọn biểu thức\[
P = \left( {\frac{1}{{\sqrt {1 + a} - \sqrt {a - b} }} + \frac{{\sqrt {a + 2 + b} - \sqrt {a - b} }}{{b + 1}} - \frac{1}{{\sqrt {1 + a} + \sqrt {a - b} }}} \right)
\]\[:\left( {1 + \sqrt {\frac{{a + 2 + b}}{{a - b}}} } \right)\]
b/ Giải hệ phương trình$\left\{ \begin{array}{l} \left( {x - y} \right)^2 = \frac{1}{x} - \frac{1}{y} \\ x - y = xy - 2 \\ \end{array} \right.$
Bài 4: (1 điểm)
Có hai vòi nước $A,B$ cùng cung cấp nước cho một hồ cạn nước và vòi $C$ (đặt sát đáy hồ) lấy nước từ hồ cung cấp cho hệ thống tưới cây. Đúng $6$ giờ, hai vòi $A$ và $B$ được mở; đến $7$ giờ vòi $C$ được mở; đến $9$ giờ thì đóng vòi $B$ và $C$; đến $10$ giờ $45$ phút thì hồ đầy nước. Người ta thấy rằng nếu đóng vòi $B$ ngay từ đầu thì phải đến $13$ giờ hồ mới đầy. Biết lưu lượng vòi $B$ là trung bình cộng của lưu lượng vòi $A$ và vòi $C$, hỏi một mình vòi $C$ tháo cạn hồ nước đầy trong bao lâu?
Bài 5: (3 điểm)
Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp trong đường tròn đường kính $AC$, $AC=2a$. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AD$.
a) Tính $BC$ và $CN$ theo $a$.
b) Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $CMN$, $MH$ cắt $CN$ tại $E$, $MN$ cắt $AC$ tại $K$. Chứng minh năm điểm $B,M,K,E,C$ cùng thuộc đường tròn $(T)$.
Đường tròn $(T)$ cắt $BD$ tại $F (F \ne B)$, tính $DF$ theo $a$.
c) $KF$ cắt $ME$ tại $I$. Chứng minh $KM$ tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác $MIF$. Tính góc $IND$.
15) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 2).
Câu 1 (1,5 điểm). Giả sử $n$ là số nguyên tố lớn hơn $2$. Chứng minh rằng $\frac{2013n^2+3}{8}$ là số nguyên dương.
Câu 2 (1,5 điểm). Rút gọn biểu thức
$A=\sqrt[3]{2+\sqrt{5}}+\sqrt[3]{2-\sqrt{5}}$
Câu 3 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} x^2+y^2+6xy=17\\ 6y^2-xy+x-5y-1=0 \end{matrix}\right.$
Câu 4 (1,5 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $BC=a$, $CA=b$, $AB=c$ và $\widehat{A}\geq \widehat{B}\geq \widehat{C}$.
Chứng minh rằng $9ab\geq (a+b+c)^2$
Câu 5 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$. Gọi $H$ làg chân đường cao kẻ từ $A$, biết rằng $H$ nằm trên đoạn thẳng $BC$ và không trùng với $B$ hoặc $C$. Đường thẳng $AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ACH$ tại $D$ phân biệt với $A$. Đường thẳng $AC$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABH$ tại $E$ phân biệt với $A$.
a) Gọi $I$ và $J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $AC$. Chứng minh rằng bốn điểm $I,J,D,E$ cùng nằm trên một đường tròn.
b) Chứng minh rằng $HA$ là tia phân giác của $\widehat{EHD}$.
c) Xác định mối liên hệ giữa $AB$, $AC$ và $AH$ để $DE$ tiếp xúc với cả hai đường tròn nói trên.
14) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Vinh năm học 2013 - 2014 (vòng 1).
Câu 1 (2,0 điểm). Tìm hai số nguyên $a$ và $b$ sao cho
$\frac{1}{a-1966}+\frac{1}{b-2013}=1$.
Câu 2 (2,5 điểm). Cho phương trình $x^2-2mx+m(m+1)=0$ ($*$).
a) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có hai nghiệm phân biệt.
b) Tìm $m$ để phương trình ($*$) có nghiệm bé là $x_1$, nghiệm lớn là $x_2$ thỏa mãn điều kiện $x_1+2x_2=0$.
Câu 3 (1,5 điểm). Giả sử $x$ và $y$ là các số dương có tổng bằng $1$. Đặt $S=xy+\frac{1}{xy}$.
a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $S$.
b) Biểu thức $S$ có giá trị lớn nhất hay không? Vì sao?
Câu 4 (4,0 điểm). Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, $BC=10$. Gọi $M$, $N$, $P$ tương ứng là chân đường cao, chân đường phân giác, chân đường trung tuyến kẻ từ đỉnh $A$.
a) Chứng minh rằng, điểm $N$ nằm giữa hai điểm $M$ và $P$.
b) Tính diện tích các tam giác $ABP$, $ABN$ và $ABM$.
13) Đề thi tuyển sinh lớp 10 tỉnh Phú Thọ năm học 2013-2014 (18/6/2013). Download.
12) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lê Quý Đôn, Quảng Trị năm học 2013-2014
Câu 1( 2.5 điểm )
1. Cho biểu thức $P=\frac{3a+\sqrt{9a}-3}{a+\sqrt{a}-2}-\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-1$.
a ) Rút gọn $P$
b) Tìm a nguyên để biểu thức P nguyên.
2. Hãy tính $A=2x^3+2x^2+1$ với $x= \frac{1}{3}(\sqrt[3]{\frac{23+\sqrt{513}}{4}}+\sqrt[3]{\frac{23-\sqrt{513}}{4}}-1)$
Câu 2 (1.5 điểm)
Cho $a,b,c$ là 3 số thực khác 0 thoã mãn $a+b+2c=0$.
Chứng minh rằng phương trình $ax^2+bx+c=0$ có 2 nghiệm phân biệt và có ít nhất 1 nghiệm dương.
Câu 3 (1.5 điểm )
Giải phương trình $x^2-7x+2+2\sqrt{3x+1}=0$.
Câu 4 (1.5 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình $$x^2-3y^2+2xy-2x-10y+4=0.$$
Câu 5
1. Cho $(O;R)$ với dây cung $BC$ cố định $(BC<2R)$ và điểm $A$ trên cung lớn $BC$ sao cho tam giác $ABC$ nhọn . Gọi $H$ là trực tâm với $A',B',C'$ là các chân đường cao tương ứng.
a) CM $OA$ vuông góc $B'C'$.
b) CM $BA.BH = 2R.BA'$ . Từ đó suy ra tổng $BA . BH + CA . CH $ không đổi.
2. Cho tam giác $ABC$ nhọn $\widehat{A}=30^{\circ}$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $BC$ và $M,N$ lần lượt là các điểm trên 2 cạnh $AB.AC$ . Tìm vị trí $M,N$ để tam giác $HMN$ có chu vi nhỏ nhất.
11) Đề thi tuyển sinh lớp 10 chuyên Lương Thế Vinh (Đồng Nai) năm học 2013-2014 (Toán chuyên)
Câu 1: (1,5 điểm)
1) Giải phương trình $x^{4}-x^{3}-x-1=0$
2) Cho $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^{2}-x-1=0$
Tính giá trị biểu thức $(x_{1}-x_{2})(x_{1}^{3}-x_{2}^{3})$Câu 2 : (1,5 điểm)
1) Cho $k$ là số thực lớn hơn $\frac{1}{2}$. Chứng minh:
$$\frac{1}{(2k-1)\sqrt{2k+1}+(2k+1)\sqrt{2k-1}}=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{2k-1}}-\frac{1}{\sqrt{2k+1}})$$
2) Rút gọn :
$$F=\frac{1}{1\sqrt{3}+3\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{5}+5\sqrt{3}}+...+\frac{1}{97\sqrt{99}+99\sqrt{97}}$$
Câu 3: (2 điểm)
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} \frac{1}{x}+y=2 & & \\ x^{2}+\frac{2}{y}=3& & \end{matrix}\right.$
Câu 4: (1 điểm)
Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa $a^{2}+b^{2}-ab=c^{2}+d^{2}-cd$
Chứng minh $(a+b)^{2}-(c+d)^{2}=3(ab-cd)$ và chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số
Câu 5: (1 điểm)
Cho đa giác $GHMNPQRSTUVW$ (đa giác nếu không nói gì thêm thì hiểu là đa giác lồi)
1) Tính số đường chéo của đa giác đã cho có điểm chung với đoạn $GS$
2) Tính số 10-giác (đa giác có 10 đỉnh) biết các đỉnh thuộc tập hợp $ \{ G,H,M,N,P,Q,R,S,T,U,V,W \}$
Câu 6: (3 điểm)
Cho tam giác nhọn $ABC$. Tia phân giác góc $CAB$ cắt $BC$ tại $D$, phân giác góc $ABC$ cắt $AC$ tại $E$, phân giác góc $ADB$ cắt $BE$ tại $K$, phân giác góc $ADC$ cắt $BE$ tại $L$.
1) Chứng minh $AKDL$ là tứ giác nội tiếp và tâm $O$ của đường tròn này là trung điểm của đoạn $KL$
2) Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC, J$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AIC$. Chứng minh $B,I,J$ thẳng hàng.
10) Đề thi vào lớp 10 trung học THực Hành, ĐH Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh năm học 2013-2014.
Câu 1: Cho phương trình : \[{x^2} - \left( {2m - 3} \right)x + {m^2} - 2m + 2 = 0\] ( m là tham số )
1) Tìm m để phương trình có một nghiệm là -1. Tìm nghiệm còn lại.
2) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1 , x_2$ thỏa :$x_1^2 + x_2^2 + {x_1} + {x_2} = 2$.
Câu 2: Cho hàm số :\[y = - \frac{{{x^2}}}{2}\,\,(P)\,\text{và}\,\,y = mx - 4\,\,\,\,(D)\] với $m \ne 0$.
1) Khi $m = 1$ , hãy vẽ $(P)$ và $(D)$ cùng trên mặt phẳng tọa độ $Oxy$. Tìm tọa độ giao điểm của $(D)$ và $(P)$ bằng phép tính.
2) Tìm m để $(P)$ , $(D)$ và $(D')$ :$y = x + \frac{1}{2}$ đồng quy.
Câu 3: Cho biểu thức :
$$P = \frac{{3x + 5\sqrt x - 11}}{{x + \sqrt x - 2}} - \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 1}} + \frac{2}{{\sqrt x + 2}} - 1$$ với $x \ge 0\,\,\text{và}\,x \ne 1$.
1) Rút gọn $P$.
2) Tìm $x$ để $P$ nhận giá trị nguyên.
Câu 4: Giải hệ phương trình : $\left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 4x + y = 0\\
{\left( {x + 2} \right)^4} + 5y = 16.
\end{array} \right.$
Câu 5: Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC ) có đường cao AH . Vẽ đường tròn (O) đường kính AB cắt AC tại N. Gọi E là điểm đối xứng của H qua AC , EN cắt AB tại M và cặt (O) tại điểm thứ hai D .
1) Chứng minh AD = AE.
2) Chứng minh HA là phân giác của góc MHN.
3) Chứng minh:
a/ 5 điểm A , E , C , M , H thuôc đường tròn (O1).
b/ 3 đường thẳng CM , BN , AH đồng quy.
4) DH cắt (O1) tại điểm thứ hai Q. Gọi I , K lần lụợt là trung điểm của DQ và BC . Chứng tỏ I thuộc đường tròn (AHK).
9) Đề thi vào lớp 10 chuyên Thoại Ngọc Hầu, An Giang năm học 2013-2014 (Toán chung, ngày 15/6/2013). Download.
8) Đề thi vào lớp 10 chuyên Hà Tĩnh, Hà Tĩnh năm học 2013-2014
Câu 1. Cho biểu thức $P=\left ( \frac{8}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+3} \right )\left ( \frac{x\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1}+\sqrt{x}-10 \right )$
a. Tìm điều kiện của $x$ để biểu thức $P$ có nghĩa và rút gọn $P$.
b. Tìm các giá trị của $x$ để $P=30$.
Câu 2. Cho phương trình $3x^2+2(m-1)x-(2m+1)=0$ ($m$ là tham số).
a. Giải phương trình khi $m=-1$.
b. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ thỏa mãn $(x_1+1)(x_2+1)=x_1^2x_2+x_2^2x_1+2$.
Câu 3.
a. Giải phương trình $\sqrt{x-1}+\sqrt{4x+1}=4$.
b. Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} 4xy^2-2x^2y=x-2y\\ 2x^3-x-8y+3=0 \end{matrix}\right.$
Câu 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có $AB<AC$ và $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $D,E$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $H$ lên $AB,AC$. Đường thẳng $DE$ cắt tia $CB$ tại $S$.
a. Chứng minh rằng $ADHE$ và $BCED$ là các tứ giác nội tiếp được trong đường tròn.
b. Đường thẳng $SA$ cắt đường tròn đường kính $AH$ tại $M$ ($M$ khác$A$). Các đường thẳng $BM$ và $AC$ cắt nhau tại $F$. Chứng minh $FA.FC+SB.SC=SF^2$.
Câu 5. Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh rằng $$\frac{b^2+c^2-a^2}{bc}+\frac{c^2+a^2-b^2}{ac}+\frac{a^2+b^2-c^2}{ab}>2$$
7) Đề thi vào lớp 10 chuyên toán Lê Hồng Phong Nam Định năm học 2013-2014. Download.
6) Đề thi vào lớp 10 chuyên tỉnh Quảng Nam năm 2013-2014. Download.
5) Đề thi vào lớp 10 môn Toán chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm học 2013 - 2014 (vòng 2, ngày 9/6/2013)
Câu 1:
$1)$ Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+y^3 = 1+y-x+xy\\ 7xy+y-x = 7 \end{matrix}\right.$$
$2)$ Giải phương trình:
$$x + 3 = \sqrt{1-x^2} + 3\sqrt{x+1} + \sqrt{1-x}.$$
Câu 2:
$1)$ Giải phương trình nghiệm nguyên ẩn $x,y$:
$$ 5x^2 + 8y^2 = 20412. $$
$2)$ Với $x,y$ là các số thực dương thỏa mãn $x+y \leq 1$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$ P = (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y})\sqrt{1+x^2y^2}. $$
Câu 3:
Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ có trực tâm $H$. Gọi $P$ là điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $HBC$ sao cho $P$ khác $B$, $C$, $H$ và nằm trong tam giác $ABC$. $PB$ cắt $(O)$ tại $M$ khác $B$, $PC$ cắt $(O)$ tại $N$ khác $C$. $BM$ cắt $AC$ tại $E$, $CN$ cắt $AB$ tại $F$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $AME$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ANF$ cắt nhau tại $Q$ khác $A$.
$1)$ Chứng minh $M,N,Q$ thẳng hàng.
$2)$ Giả dụ $AP$ là phân giác $\widehat{MAN}$. Chứng minh $PQ$ đi qua trung điểm của $BC$.
Giả dụ dãy số thực có thứ tự $x_1 \leq x_2 \leq .... \leq x_{192}$ thỏa mãn điều kiện
$$\left\{\begin{matrix} x_1 + x_2 + x_3 + ... + x_n = 0\\ \begin{vmatrix} x_1 \end{vmatrix} +\begin{vmatrix} x_2 \end{vmatrix} + ... + \begin{vmatrix} x_{192} \end{vmatrix} = 2013 \end{matrix}\right.$$
Hãy chứng minh $$x_{192} - x_1 \geq \dfrac{2013}{96}.$$
4) Đề thi môn Toán vào lớp 10 chuyên Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội năm học 2013 - 2014 (vòng 1, ngày 8/6/2013)
Câu 1:
$1)$ Giải phương trình
$$\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3.$$
$2)$ Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x}+ y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2}\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}(x + \dfrac{1}{y}) = xy + \dfrac{1}{xy}. \end{matrix}\right.$$
Câu 2:
$1)$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}.$$
$2)$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$?
Câu 3:
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $AB < AC$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D \neq A$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $O$. Giả dụ $(ABM)$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng
$1) \triangle BDM \sim \triangle BCF$
$2) EF \perp AC.$
Câu 4: Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3.$$
3) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho thí sinh chuyên Toán Tin)
Câu 1:
$1)$ Giải phương trình
$$\sqrt{3x+1} + \sqrt{2-x} = 3.$$
$2)$ Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} x+\dfrac{1}{x}+ y + \dfrac{1}{y} = \dfrac{9}{2}\\ \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}(x + \dfrac{1}{y}) = xy + \dfrac{1}{xy}. \end{matrix}\right.$$
Câu 2:
$1)$ Giả dụ $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn đẳng thức $(a+b)(b+c)(c+a) = 8abc$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{a}{b+c} + \dfrac{b}{c+a} + \dfrac{c}{a+b} = \dfrac{3}{4} + \dfrac{ab}{(a+b)(b+c)} + \dfrac{bc}{(b+c)(c+a)} + \dfrac{ca}{(c+a)(a+b)}.$$
$2)$ Hỏi có bao nhiêu số nguyên dương có 5 chữ số $\overline{abcde}$ sao cho $\overline{abc} - (10d+e)$ chia hết cho $101$?
Câu 3:
Cho $\triangle ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ với $AB < AC$. Đường phân giác của $\angle BAC$ cắt $(O)$ tại $D \neq A$. Gọi $M$ là trung điểm của $AD$ và $E$ là điểm đối xứng với $D$ qua $O$. Giả dụ $(ABM)$ cắt $AC$ tại $F$. Chứng minh rằng
$1) \triangle BDM \sim \triangle BCF$
$2) EF \perp AC.$
Câu 4: Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3.$$
3) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho thí sinh chuyên Toán Tin)
Câu 1: (2,5 điểm)
1, Các số thực $a,b,c$ đồng thời thỏa mãn 2 đẳng thức :
i) $(a+b)(b+c)(c+a)=abc$.
ii) $(a^3+b^3)(b^3+c^3)(c^3+a^3)=a^3b^3c^3$.
2, Các số thực dương $a,b$ thỏa mãn $ab>2013a+2014b$. Chứng minh bất đẳng thức:
$$a+b>(\sqrt{2013}+\sqrt{2014})^2$$
Câu 2: (2 điểm)
Tìm tất cả các cặp số hữu tỉ $(a;b)$ thỏa mãn hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} x^3-2y^3=x+4y\\ 6x^2-19xy+15y^2 = 1 \end{matrix}\right.$
Câu 3: (1 điểm)Với mỗi số nguyên dương $n$, kí hiệu $S_n$ là tổng $n$ số nguyên tố đầu tiên. CHứng minh rằng tr0ng dãy số $S_1,S_2,...$ không tồn tại 2 số chính phương liên tiếp.
Câu 4: (2,5 điểm)
Tam giác $ABC$ không cân nội tiếp $(O)$, $BD$ là phân giác góc $ABC$. Đường thẳng $BD$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $E$. Đường tròn $(O_1)$ đường kính $DE$ cắt $(O)$ tại điểm thứ 2 $F$
1. Chứng minh đường thẳng đối xứng với đường thẳng $BF$ qua đường thẳng $BD$ đi qua trung điểm $AC$.
2. Biết tam giác $ABC$ vuông tại $B$. $\widehat{BAC}=60^{o}$ và bán kính $(O)$ bằng $R$, tính bán kính $(O_1)$ theo $R$.
Câu 5: (1 điểm)Độ dài 3 cạnh tam giác $ABC$ là 3 số nguyên tố, chứng minh điện tích tam giác $ABC$ không phải là số nguyên.
Câu 6: (1 điểm)
$a_1, a_2, .. a_{11}$ là các số nguyên dương lớn hơn hay bằng 2, đôi một khác nhau và thỏa mãn $a_1 + a_2 + .. + a_{11} = 407$. Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ sa0 cho tổng các số dư của các phép chia $n$ cho 22 số $a_1, a_2, ... a_{11} , 4a_1, ... 4a_{11}$ bằng $2012$.
2) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho mọi thí sinh)
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức :
$$Q= \dfrac{\left(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^3 + 2a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{3a^3 + 3b\sqrt{ab}} + \dfrac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{a}}.$$
Với $a,b>0, a\neq b$. Chứng minh giá trị của $Q$ không phụ thuộc vào $a,b$.
2. Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$, chứng minh đẳng thức:
$$(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4).$$
Câu 2: (2 điểm)
Cho Parabol (P) : $y=x^2$ và đường thẳng (d) : $y=-mx+\frac{1}{2m^2}$ (Tham số $m\neq 0$)
1. Chứng minh rằng với mỗi $m\neq 0$, (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ là 2 giao điểm đó, tìm giá trị nhỏ nhất của $M=y_1^2+y_2^2$.
Câu 3: (1,5 điểm)
Giả sử $a,b,c$ là các số thực, $a\neq b$ sa0 ch0 2 phương trình $x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0$ có nghiệm chung và 2 phương trình $x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0$ có nghiệm chung. Tính $a+b+c$.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AA_1,BB_1,CC_1$ cắt nhau ở $H$, $A_1C_1$ cắt $AC$ tại $D$. $X$ là giao điểm thứ 2 của $BD$ và $(O)$.
1. Chứng minh $DX.DB=DC_1.DA_1$.
2. Gọi $M$ là trung điểm $AC$, chứng minh $DH \perp BM$.
Câu 5: (1 điểm)
Các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+ 2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}\\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+ 2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $x=y=z$.
1) Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Phổ thông năng khiếu, ĐH Quốc Gia TP. HCM năm học 2013 - 2014
Câu 1:
Cho phương trình: $x^2-4mx+m^2-2m+1=0\quad (1)$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.
b) Tìm $m$ sao cho $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1$.
Câu 2:
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2 )\\3z^2+2x+1=2y(z+2).\end{cases}$$
Câu 3:
Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.
a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.
b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.
Câu 4:
Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.
Câu 5:
Cho $\Delta ABC$ có góc $A=60^o$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh rằng $IFMK$ và $IMAN$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $J$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $A,K,J$ thẳng hàng.
c) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$. Tính $S$ theo $r$ và chứng minh $S_{IMN}\ge \dfrac{S}{4}$.
Câu 6:
Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.
2) Đề tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013 - 2014 (dành cho mọi thí sinh)
Câu 1: (2,5 điểm)
1. Cho biểu thức :
$$Q= \dfrac{\left(\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}\right)^3 + 2a\sqrt{a}+b\sqrt{b}}{3a^3 + 3b\sqrt{ab}} + \dfrac{\sqrt{ab}-a}{a\sqrt{a}-b\sqrt{a}}.$$
Với $a,b>0, a\neq b$. Chứng minh giá trị của $Q$ không phụ thuộc vào $a,b$.
2. Các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=0$, chứng minh đẳng thức:
$$(a^2+b^2+c^2)^2=2(a^4+b^4+c^4).$$
Câu 2: (2 điểm)
Cho Parabol (P) : $y=x^2$ và đường thẳng (d) : $y=-mx+\frac{1}{2m^2}$ (Tham số $m\neq 0$)
1. Chứng minh rằng với mỗi $m\neq 0$, (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.
2. Gọi $A(x_1;y_1),B(x_2;y_2)$ là 2 giao điểm đó, tìm giá trị nhỏ nhất của $M=y_1^2+y_2^2$.
Câu 3: (1,5 điểm)
Giả sử $a,b,c$ là các số thực, $a\neq b$ sa0 ch0 2 phương trình $x^2+ax+1=0,x^2+bx+c=0$ có nghiệm chung và 2 phương trình $x^2+x+a=0,x^2+cx+b=0$ có nghiệm chung. Tính $a+b+c$.
Câu 4: (3 điểm)
Cho tam giác $ABC$ không cân, có 3 góc nhọn, nội tiếp đường tròn $(O)$. Các đường cao $AA_1,BB_1,CC_1$ cắt nhau ở $H$, $A_1C_1$ cắt $AC$ tại $D$. $X$ là giao điểm thứ 2 của $BD$ và $(O)$.
1. Chứng minh $DX.DB=DC_1.DA_1$.
2. Gọi $M$ là trung điểm $AC$, chứng minh $DH \perp BM$.
Câu 5: (1 điểm)
Các số thực $x,y,z$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x+2011}+\sqrt{y+2012}+\sqrt{z+2013}=\sqrt{y+ 2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}\\ \sqrt{y+2011}+\sqrt{z+2012}+\sqrt{x+2013}=\sqrt{z+ 2011}+\sqrt{x+2012}+\sqrt{y+2013} \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng $x=y=z$.
1) Đề tuyển sinh vào lớp 10 Chuyên Toán Phổ thông năng khiếu, ĐH Quốc Gia TP. HCM năm học 2013 - 2014
Câu 1:
Cho phương trình: $x^2-4mx+m^2-2m+1=0\quad (1)$ với $m$ là tham số.
a) Tìm $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1,x_2$ phân biệt. Chứng minh rằng khi đó hai nghiệm không thể trái dấu nhau.
b) Tìm $m$ sao cho $|\sqrt{x_1}-\sqrt{x_2}|=1$.
Câu 2:
Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}3x^2+2y+1=2z(x+2)\\3y^2+2z+1=2x(y+2 )\\3z^2+2x+1=2y(z+2).\end{cases}$$
Câu 3:
Cho $x,y$ là hai số không âm thỏa mãn $x^3+y^3 \le x-y$.
a) Chứng minh rằng: $y\le x \le 1$.
b) Chứng minh rằng: $x^3+y^3 \le x^2+y^2 \le 1$.
Câu 4:
Cho $M=a^2+3a+1$ với $a$ là số nguyên dương.
a) Chứng minh rằng mọi ước của $M$ đều là số lẻ.
b) Tìm $a$ sao cho $M$ chia hết cho 5. Với những giá trị nào của $a$ thì $M$ là lũy thừa của 5.
Câu 5:
Cho $\Delta ABC$ có góc $A=60^o$. Đường tròn $(I)$ nội tiếp tam giác tiếp xúc với các cạnh $BC,CA,AB$ lần lượt tại $D,E,F$. Đường thẳng $ID$ cắt $EF$ tại $K$, đường thẳng qua $K$ song song $BC$ cắt $AB,AC$ lần lượt tại $M,N$.
a) Chứng minh rằng $IFMK$ và $IMAN$ là tứ giác nội tiếp.
b) Gọi $J$ là trung điểm $BC$. Chứng minh $A,K,J$ thẳng hàng.
c) Gọi $r$ là bán kính đường tròn $(I)$ và $S$ là diện tích tứ giác $IEAF$. Tính $S$ theo $r$ và chứng minh $S_{IMN}\ge \dfrac{S}{4}$.
Câu 6:
Trong một kì thi, 60 thí sinh phải giải 3 bài toán. Khi kết thúc kì thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh bất kì luôn có ít nhất một bài toán mà cả hai thí sinh đó đều giải được. Chứng minh rằng:
a) Nếu có một bài toán mà mọi thí sinh đều không giải được thì phải có một bài toán khác mà mọi thí sinh đều giải được.
b) Có một bài toán mà có ít nhất 40 thí sinh giải được.