Về Câu bất đẳng thức trong đề thi thử ĐH 2014 của VNMATH

Trong bài này, chúng tôi giới thiệu nguồn gốc và lời giải cho câu V đề thi thử lần 1 năm 2014 do VNMATH tổ chức cũng như ý tưởng để tạo một số bất đẳng thức sơ cấp từ các bất đẳng thức trong đại số tuyến tính.

Yêu cầu cần có
Để hiểu được bài này bạn cần các kiến thức về Đại số tuyến tính, Tích phân suy rộng. Nếu có một ít kiến thức về Giải tích hàm thì càng tốt.

Trong bài này ta kí hiệu:
- ⟨a,b⟩ là tích vô hướng của hai vector trong không gian tiền Hilbert V.
- ||a|| là môđun của vector a.

Hỏi:
Nhiều bạn đọc quan tâm hỏi VNMATH ra câu V trong đề thi thử năm 2014 do VNMATH tổ chức như thế nào.

Đáp:
Trước hết, ta nhắc lại nội dung câu V .

Ý tưởng ra câu bất đẳng thức này như sau:

Bất đẳng thức mở đầu. Với mọi vector a, b, c thuộc V ta có

Bạn đọc tự chứng minh.

Áp dụng bất đẳng thức trên cho tích vô hướng, ⟨f,g⟩=∫0∞f(x)g(x)dx trong đó  f(x)=1eax và g(x)=1ebx. Ta được

Lưu ý

∫0∞dxe(a+b)x=1a+b.

Nhân hai vế với 2abc và phát biểu lại bài toán ta có được câu V ở trên.

Một lời giải sơ cấp

Nếu dùng cách giải như trong ý tưởng thì chẳng khác nào giết gà bằng dao mổ khủng long. 

Một lời giải sơ cấp ngắn gọn cho bài toán trong đề thi thử đại học là

M=14−14.(b−a)2(c−a)2(c−b)2(a+b)2(b+c)2(c+a)2≤14.

Giá trị lớn nhất của M bằng 1/4. Dấu bằng xảy ra khi a=b=c.
Hướng dẫn tính chi tiết

Bonus:
Nếu chọn a=(a1,…,an), b=(b1,…,bn) và c=(1,…,1) rồi thay vào bất đẳng thức mở đầu, sau đó thêm các giả thiết ∑i=1na2i=∑i=1nb2i=1 và ∑i=1naibi=0, ta có bất đẳng thức

(∑i=1nai)2+(∑i=1nbi)2≤n.

Đây chính là đề chọn đội tuyển thi IMO của Rumani năm 2007. Lời giải sơ cấp dành cho bạn đọc.

Bài tập
1) Hãy tạo ra một số bất đẳng thức sơ cấp cho các số thực từ bất đẳng thức sau:

2) Lựa chọn tích vô hướng thích hợp để suy ra bất đẳng thức sau (Iran TST 1996)

1(x+y)2+1(y+z)2+1(z+x)2≥94(xy+yz+zx).

Kết:
Theo hướng này bạn có thể tự tạo nhiều câu bất đẳng sơ cấp khác từ các bất đẳng thức về tích vô hướng trong không gian tiền Hilbert.

Chúc bạn có các bất đẳng thức tự sướng của riêng mình.

Nguồn: VNmath.com

XEM TIẾP...