Monday, October 12, 2015
Monday, October 5, 2015
Monday, September 28, 2015
HAI MƯƠI BÀI TOÁN TÌM MIN - MAX HAY VÀ KHÓ
DOWNLOAD
Wednesday, September 23, 2015
Chứng minh bất đẳng thức bằng cách điều chỉnh số mũ
Tuesday, September 8, 2015
Monday, September 7, 2015
Bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi tại Việt Nam năm 2014
Bất đẳng thức trong các đề thi học sinh giỏi tại Việt Nam năm 2014. Download Đề thi và lời giải.
 |
Monday, August 24, 2015
Tuyển tập Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 12 năm 2013 - Phần 2
Tiếp theo Phần 1.
Vì số lượng đề thi nhiều và để tăng tốc độ tải trang nên chúng tôi tách thành hai phần.
23. Đề thi học sinh giởi thành phố Hồ Chí Minh 2013 - 2014
Ngày 1.
Bài 1: Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$
Bài 2: Cho dãy $(x_n)$ thỏa $$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$
Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$
Bài 3: Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân nội tiếp (O), M di động trên (O). M không thuộc AO. Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt BC tại N. Đường trung trực của MN cắt AB, AC lần lượt tại E,F. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác AEF.
Bài 5: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}{2013}$$
Ngày 2
Bài 1: Tìm các đa thức $f(x), g(x)$ hệ số nguyên thỏa $$f(g(x)) = x^{2013}+2014x+1 \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Bài 2: Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là các số thực thỏa $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ và $\max_{1 \le i \le j \le 5} |a_i -a_j| \le 1$. Chứng minh $$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \le 10$$
Bài 3: Một tam giác nguyên là tam giác có độ dài các cạnh là số nguyên. Tìm các tam giác nguyên có chu vi bằng diện tích.
Bài 4: Cho tam giác ABC không cân có M,N,P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Đường trung trực của AB và AC cắt AM lần lượt tại D và E. BD cắt CE tại F. Chứng minh APFN nội tiếp.
Bài 5: Có tồn tại hay không một tập con $A$ gồm 2014 phần tử của tập $S = \{1;2;...;3020\}$ thỏa $2x \notin A \ \forall x \in A$?
24. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2013 - 2014
Ngày 1
Câu 1
Giải phương trình trên tập số thực :
$2013^{x^3-y^3-3x^2-3y^2-9x+9y+22}+2013^{x^2+y^2-x+y-\frac{1}{2}}=x^3-y^3-2x^2-2y^2-10x+10y+\frac{47}{2}$
Câu 2:
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=3,a_2=5\\ a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên $k$ sao cho $4a_na_{n+1}+k$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương
Câu 3
Cho tam giác $ABC$ đều, $M,P$ lần lượt thuộc $AB$ và $BC$ sao cho $MP$ song song $AC$. Gọi $D$ là trọng tâm $MPB$ và $E$ là trung điểm $AP$. Tính số đo các góc $\Delta DEC$
Câu 4
Cho thất giác lồi $ABCDEFG$ có các cạnh và các đường chéo $AC,AD,AE,AF$ có độ dài không vượt quá $\sqrt{3}$ bên trong thất giác lồi lấy 2014 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
1, Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của thất giác và chứa ít nhất 288 điểm đã cho
2, Xét tất cả các tam giác tạo thành bởi 3 trong 2014 điểm trên, chứng minh số tam giác đó chứa ít nhất là 30% tam giác không nhọn.
Ngày 2
Câu 5
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện :
$$(P(x))^2-2=2P(2x^2-1)$$
Câu 6
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. Gọi (C) là đường tròn tâm I nằm trong tam giác ABC. D, E, F lần lượt là các giao điểm của (C) với IA', IB', IC'.
Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy
Câu 7
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho với mọi $m,n\in \mathbb{Z}$ ta có :
1, Nếu $m\equiv n\pmod{p}$ thì $f(m)=f(n)$
2, $f(mn)=f(m)f(n)$
Câu 8
Chứng minh rằng trong 18 người bất kì luôn tồn tại 4 người đôi 1 quen nhau hoặc đôi 1 không quen nhau.
25. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2013 - 2014
Câu 1. Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{{x - 1}}$, $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $(C)$. Với giá trị nào của $m$, đường thẳng $y = - x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và tam giác $IAB$ đều.
Câu 2.
Câu 4. Cho dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định như sau: ${x_1} = \sqrt 3$ và
$${x_{n + 1}} = \sqrt {9x_n^2 + 11{x_n} + 3}, \left( n \in \mathbb{N}^* \right)$$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}$.
Câu 5. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{{xy}}{{3x + 4y + 2z}} + \frac{{yz}}{{3y + 4z + 2x}} + \frac{{zx}}{{3z + 4y + 2y}}.$$
26. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Sơn La năm học 2013 - 2014
Câu 1.
Câu 4 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = h$ và $SA \perp (ABCD)$. $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $CD$. Đặt $CM = x$.
Cho tam giác $ABC$ biết $\sin{A}^2 + \sin{B}^2 = k \sin{C}^2$ với $k > \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin C$.
27. Đề thi chọn đội tuyển Hải Phòng năm 2013-2014.
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1=1$ và
$$x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n},\forall n\geq 1.$$
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ. Tính $\lim x_n$.
Câu 2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ cố định. Điểm $C$ di chuyển trên đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Dựng đường cao $CD$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $AD$ và $CD$, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của đường phân giác góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{AEB}$. Chứng minh rằng $F$ nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 3. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=\sqrt{xyz}$. CHứng minh rằng
$$\frac{x^{2014}}{1-x}+\frac{y^{2014}}{1-y}+\frac{z^{2014}}{1-z}<\frac{1}{3.4^{2013}}.$$
Câu 4. Trong một phòng thi có $n$ ($n\geq 2$) thí sinh được xếp xung quanh một bàn tròn. Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau, mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản. Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh chỉ nhận một đề và khác loại đề hai thí sinh ngồi cạnh. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh biết rằng số cách phát đề hợp lệ không quá $2013$?
Ngày 2
Câu 1. Cho $a,b$ là hai số tự nhiên thỏa mãn $1\leq a\leq b$, đặt $M=\left[\dfrac{a+b}{2}\right]$. Gọi $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số xác định bởi
$$f(n)=\begin{cases}n+a,\quad \text{ nếu } n<M\\ n-b,\quad \text{ nếu } n\geq M\end{cases}.$$
Đặt $f^1(n)=f(n), f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$. Tìm số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $f^k(0)=0$.
Câu 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ ($O_1$ và $O_2$ nằm về hai phía so với $AB$). Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D$ khác $A$ ($A$ nằm giữa $C,D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2)$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 3. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$, ($k\in\mathbb{Z}$). Hãy tìm số dư của phép chia
$$(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)....((p-1)^2+1) \text{ cho } p.$$
Câu 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ô vuông, ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng bốn số trong mỗi bảng vuông con $2\times 2$ đều bằng $0$. Hỏi tổng tất cả các số trong bảng $2013\times 2013$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
28. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Bình Định năm học 2013-2014.
Bài 1. Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$
$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$
$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?
Bài 3. Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$
Với $n=1,2,...$
Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$
Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$
Bài 4.
$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$
$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$
$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.
Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$
Bài 5. Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$
29. Đề thi chọn đội tuyển ĐH Khoa học tự nhiên Hà Nội năm học 2013-2014.
Ngày thi thứ nhất:
Bài 1. Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn: $a_1=3, a_2=17, a_3=99$ và
$a_{n+1}=\frac{a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-1}{a_{n-2}}$.
Chứng minh rằng $a_{2014}+1$ là số chính phương.
Bài 2. Cho tập hợp $S={1,2,3,...,2014}$. Tìm số cách chọn ra từ tập $S$ $m$ số chẵn và $n$ số lẻ sao cho trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau $1$ đơn vị.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$.Phân giác trong góc $A$ cắt cạnh $BC$ tai điểm $D$. $P$ và $Q$ là $2$ điểm di chuyển trên đoạn $AD$ sao cho thỏa mãn: $\widehat{CBP}=\widehat{ABQ}$. Gọi $R$ là hình chiếu của $Q$ trên cạnh $BC$, $d$ là đường thẳng qua $R$ vuông góc với $OP$. Chứng minh rằng khi $P, Q$ di chuyển trên $AD$ thì các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng $10$ điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ.
Ngày thi thứ hai:
Bài 1. Tìm các số nguyên $m,n$ thỏa mãn điều kiện $2n^{2}+3|m^{2}-2$
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện sau:
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)+2xy$ với mọi số thực $x,y$
Bài 3. Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M,L,K$ là tâm đường tròn Ơle các tam giác $CDE, EFA, ABC$. Gọi $X,Y,Z$ là hình chiếu của $M,L,K$ trên các đường thẳng $AD,CF,EB$. Chứng minh rằng trung trực các đoạn thẳng $AX,CY,EZ$ đồng quy.
Bài 4. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của
$A=(|a-b|+\sqrt{6})(|b-c|+\sqrt{6})(|c-a|+\sqrt{6})$.
30. Đề thi chọn đội tuyển ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013-2014.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và :
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$
Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$
Câu 2. Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :
$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$
Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC và các đường cao AD, BE, CF. Các đường tròn đường kính AB, AC theo thứ tự cắt tia DF, DE tại Q, P. Gọi N là tâm ngoại tiếp tam giác DEF. Chứng minh rằng :
a) AN $\perp$ PQ
b) AN, BP, CQ đồng quy
Câu 4. Cơ sở dữ liệu tạp chí của thư viện Quốc Gia có đúng 2016 loại khác nhau . Thư viện này cho phép 2013 thư viện địa phương kết nối để có thể khai thác cơ sở dữ liệu tạp chí của nó. Biết mỗi thư viện địa phương được phép khai thác ít nhất 1008 loại tạp chí khác nhau và 2 thư viện địa phương bất kì có tối đa 504 loại tạp chí mà cả 2 thư viện địa phương đó cùng đc phép khai thác. Chứng minh rằng không có quá 1 loại tạp chí trong cơ sở dữ liệu của thư viện Quốc Gia mà cả 2013 thư viện địa phương đều không thể khai thác được.
Tiếp tục cập nhật...
Vì số lượng đề thi nhiều và để tăng tốc độ tải trang nên chúng tôi tách thành hai phần.
23. Đề thi học sinh giởi thành phố Hồ Chí Minh 2013 - 2014
Ngày 1.
Bài 1: Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$
Bài 2: Cho dãy $(x_n)$ thỏa $$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$
Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$
Bài 3: Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân nội tiếp (O), M di động trên (O). M không thuộc AO. Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt BC tại N. Đường trung trực của MN cắt AB, AC lần lượt tại E,F. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác AEF.
Bài 5: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}{2013}$$
Ngày 2
Bài 1: Tìm các đa thức $f(x), g(x)$ hệ số nguyên thỏa $$f(g(x)) = x^{2013}+2014x+1 \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Bài 2: Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là các số thực thỏa $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ và $\max_{1 \le i \le j \le 5} |a_i -a_j| \le 1$. Chứng minh $$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \le 10$$
Bài 3: Một tam giác nguyên là tam giác có độ dài các cạnh là số nguyên. Tìm các tam giác nguyên có chu vi bằng diện tích.
Bài 4: Cho tam giác ABC không cân có M,N,P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Đường trung trực của AB và AC cắt AM lần lượt tại D và E. BD cắt CE tại F. Chứng minh APFN nội tiếp.
Bài 5: Có tồn tại hay không một tập con $A$ gồm 2014 phần tử của tập $S = \{1;2;...;3020\}$ thỏa $2x \notin A \ \forall x \in A$?
24. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2013 - 2014
Ngày 1
Câu 1
Giải phương trình trên tập số thực :
$2013^{x^3-y^3-3x^2-3y^2-9x+9y+22}+2013^{x^2+y^2-x+y-\frac{1}{2}}=x^3-y^3-2x^2-2y^2-10x+10y+\frac{47}{2}$
Câu 2:
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=3,a_2=5\\ a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên $k$ sao cho $4a_na_{n+1}+k$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương
Câu 3
Cho tam giác $ABC$ đều, $M,P$ lần lượt thuộc $AB$ và $BC$ sao cho $MP$ song song $AC$. Gọi $D$ là trọng tâm $MPB$ và $E$ là trung điểm $AP$. Tính số đo các góc $\Delta DEC$
Câu 4
Cho thất giác lồi $ABCDEFG$ có các cạnh và các đường chéo $AC,AD,AE,AF$ có độ dài không vượt quá $\sqrt{3}$ bên trong thất giác lồi lấy 2014 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
1, Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của thất giác và chứa ít nhất 288 điểm đã cho
2, Xét tất cả các tam giác tạo thành bởi 3 trong 2014 điểm trên, chứng minh số tam giác đó chứa ít nhất là 30% tam giác không nhọn.
Ngày 2
Câu 5
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện :
$$(P(x))^2-2=2P(2x^2-1)$$
Câu 6
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. Gọi (C) là đường tròn tâm I nằm trong tam giác ABC. D, E, F lần lượt là các giao điểm của (C) với IA', IB', IC'.
Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy
Câu 7
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho với mọi $m,n\in \mathbb{Z}$ ta có :
1, Nếu $m\equiv n\pmod{p}$ thì $f(m)=f(n)$
2, $f(mn)=f(m)f(n)$
Câu 8
Chứng minh rằng trong 18 người bất kì luôn tồn tại 4 người đôi 1 quen nhau hoặc đôi 1 không quen nhau.
25. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2013 - 2014
Câu 1. Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{{x - 1}}$, $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $(C)$. Với giá trị nào của $m$, đường thẳng $y = - x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và tam giác $IAB$ đều.
Câu 2.
- Giải phương trình sau trên tập số thực $$5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 4\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) - 9.$$
- Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {7x + y} - \sqrt {2x + y} = 4\\
2\sqrt {2x + y} - \sqrt {5x + 8} = 2
\end{array} \right.$$
Câu 4. Cho dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định như sau: ${x_1} = \sqrt 3$ và
$${x_{n + 1}} = \sqrt {9x_n^2 + 11{x_n} + 3}, \left( n \in \mathbb{N}^* \right)$$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}$.
Câu 5. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{{xy}}{{3x + 4y + 2z}} + \frac{{yz}}{{3y + 4z + 2x}} + \frac{{zx}}{{3z + 4y + 2y}}.$$
26. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Sơn La năm học 2013 - 2014
Câu 1.
- Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} + x\sqrt[3]{x^2} \right)^n$ biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là $a_0 + a_1 +... + a_n = 4096$.
- Cho phương trình $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
- Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên và $n \ge 1$ thì:
$$\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} > \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.$$ - Tìm giới hạn sau:
$$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin^{m+n+p}{x}}{\sqrt[3] {\left(1- \sin^m{x} \right) \left( 1- \sin^n{x} \right) \left( 1- \sin^p{x}\right) }}$$
Với $m,n,p \in \mathbb{N}^{*}$.
Câu 4 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = h$ và $SA \perp (ABCD)$. $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $CD$. Đặt $CM = x$.
- Hạ $SH \perp BM$. Tính $SH$ theo $a, h$ và $x$.
- Xác định vị trí của $M$ để thể tích tứ diện $SABH$ đại giá trị lớn nhất. Tìm GTLN đó.
Cho tam giác $ABC$ biết $\sin{A}^2 + \sin{B}^2 = k \sin{C}^2$ với $k > \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin C$.
27. Đề thi chọn đội tuyển Hải Phòng năm 2013-2014.
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1=1$ và
$$x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n},\forall n\geq 1.$$
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ. Tính $\lim x_n$.
Câu 2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ cố định. Điểm $C$ di chuyển trên đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Dựng đường cao $CD$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $AD$ và $CD$, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của đường phân giác góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{AEB}$. Chứng minh rằng $F$ nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 3. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=\sqrt{xyz}$. CHứng minh rằng
$$\frac{x^{2014}}{1-x}+\frac{y^{2014}}{1-y}+\frac{z^{2014}}{1-z}<\frac{1}{3.4^{2013}}.$$
Câu 4. Trong một phòng thi có $n$ ($n\geq 2$) thí sinh được xếp xung quanh một bàn tròn. Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau, mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản. Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh chỉ nhận một đề và khác loại đề hai thí sinh ngồi cạnh. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh biết rằng số cách phát đề hợp lệ không quá $2013$?
Ngày 2
Câu 1. Cho $a,b$ là hai số tự nhiên thỏa mãn $1\leq a\leq b$, đặt $M=\left[\dfrac{a+b}{2}\right]$. Gọi $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số xác định bởi
$$f(n)=\begin{cases}n+a,\quad \text{ nếu } n<M\\ n-b,\quad \text{ nếu } n\geq M\end{cases}.$$
Đặt $f^1(n)=f(n), f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$. Tìm số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $f^k(0)=0$.
Câu 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ ($O_1$ và $O_2$ nằm về hai phía so với $AB$). Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D$ khác $A$ ($A$ nằm giữa $C,D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2)$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 3. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$, ($k\in\mathbb{Z}$). Hãy tìm số dư của phép chia
$$(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)....((p-1)^2+1) \text{ cho } p.$$
Câu 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ô vuông, ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng bốn số trong mỗi bảng vuông con $2\times 2$ đều bằng $0$. Hỏi tổng tất cả các số trong bảng $2013\times 2013$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?
28. Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Bình Định năm học 2013-2014.
Bài 1. Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix} \frac{2xy+y\sqrt{x^2-y^2}}{14} =\sqrt{\frac{x+y}{2}}+\sqrt{\frac{x-y}{2}}& & \\ \sqrt{\left ( \frac{x+y}{2} \right )^3}+\sqrt{\left ( \frac{x-y}{2} \right )^3}=9& & \end{matrix}\right.$$
Bài 2. Cho tập $M=\left\{1,2,3,...,2013,2014\right\}$
$a.$ Lấy ngẫu nhiên ra hai số trong tập $M$. Tính xác suất để mỗi số trong hai số đó chia hết cho ít nhất một trong các số $2,3,13$
$b.$ Có bao nhiêu cách chọn ra hai tập hợp con của $M$ (không kể thứ tự) mà giao của chúng có duy nhất một phần tử ?
Bài 3. Cho dãy $(U_n)$ xác định bởi:$-1<U_0<1,U_n=\sqrt{\frac{1+U_{n-1}}{2}}$
Với $n=1,2,...$
Hai dãy $(V_n)$ và $(W_n)$ được xác định như sau:$V_n=4^n(1-U_n)$ và $W_n=U_1U_2...U_n$
Tìm $\lim V_n$ và $\lim W_n$
Bài 4.
$1.$ Cho tam giác $ABC$. Các đường phân giác $BD,CE$ của tam giác cắt nhau tại $I$.
Chứng minh rằng: Tam giác $ABC$ vuông khi và chỉ khi $S_{BCDE}=2S_{BIC}$
$2.$ Cho hình chóp $SABC$ trong đó $SA,SB,SC$ vuông góc với nhau từng đôi một. Trên các tia $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm $A',B',C'$ sao cho: $SA.SA'=SB.SB'=SC.SC'$. Vẽ $SH\perp (A'B'C')$ cắt $(ABC)$ tại $G$
$a.$ Chứng minh rằng $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$
$b.$ Cho $SA=a,SB=b,SC=c$. Gọi $r$ là bán kình mặt cầu nội tiếp hình chóp $SABC$.
Chứng minh:$$r=\frac{S_{SAB}+S_{SBC}+S_{SCA}-S_{ABC}}{a+b+c}$$
Bài 5. Tìm $m$ để hệ sau có nghiệm:$$\left\{\begin{matrix} \log_{x^2+y^2}(x-y)\geq 1 & & \\ x-2y=m & & \end{matrix}\right.$$
29. Đề thi chọn đội tuyển ĐH Khoa học tự nhiên Hà Nội năm học 2013-2014.
Ngày thi thứ nhất:
Bài 1. Cho dãy số $(a_n)$ thỏa mãn: $a_1=3, a_2=17, a_3=99$ và
$a_{n+1}=\frac{a_n^{2}+a_{n-1}^{2}-1}{a_{n-2}}$.
Chứng minh rằng $a_{2014}+1$ là số chính phương.
Bài 2. Cho tập hợp $S={1,2,3,...,2014}$. Tìm số cách chọn ra từ tập $S$ $m$ số chẵn và $n$ số lẻ sao cho trong các số vừa chọn, không có hai số hơn kém nhau $1$ đơn vị.
Bài 3. Cho tam giác $ABC$, tâm ngoại tiếp $O$.Phân giác trong góc $A$ cắt cạnh $BC$ tai điểm $D$. $P$ và $Q$ là $2$ điểm di chuyển trên đoạn $AD$ sao cho thỏa mãn: $\widehat{CBP}=\widehat{ABQ}$. Gọi $R$ là hình chiếu của $Q$ trên cạnh $BC$, $d$ là đường thẳng qua $R$ vuông góc với $OP$. Chứng minh rằng khi $P, Q$ di chuyển trên $AD$ thì các đường thẳng $d$ luôn đi qua một điểm cố định.
Bài 4. Có tồn tại hay không một tập hữu hạn các điểm xanh và đỏ trong mặt phẳng sao cho với mọi đường tròn đơn vị có tâm là một điểm xanh đều có đúng $10$ điểm đỏ, và số điểm xanh nhiều hơn số điểm đỏ.
Ngày thi thứ hai:
Bài 1. Tìm các số nguyên $m,n$ thỏa mãn điều kiện $2n^{2}+3|m^{2}-2$
Bài 2. Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn điều kiện sau:
$f(x+y)+f(x)f(y)=f(x)+f(y)+f(xy)+2xy$ với mọi số thực $x,y$
Bài 3. Cho lục giác $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $M,L,K$ là tâm đường tròn Ơle các tam giác $CDE, EFA, ABC$. Gọi $X,Y,Z$ là hình chiếu của $M,L,K$ trên các đường thẳng $AD,CF,EB$. Chứng minh rằng trung trực các đoạn thẳng $AX,CY,EZ$ đồng quy.
Bài 4. Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2$.
Tìm giá trị lớn nhất của
$A=(|a-b|+\sqrt{6})(|b-c|+\sqrt{6})(|c-a|+\sqrt{6})$.
30. Đề thi chọn đội tuyển ĐH Sư phạm Hà Nội năm học 2013-2014.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa mãn $x_1=1$ và :
$$x_{n+1}=\sqrt{x_n^2+2x_n+2}-\sqrt{x_n^2-2x_n+2}\,\,\,\forall n\in\mathbb{N}^{*}$$
Chứng minh rằng dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn khi $n\to +\infty$
Câu 2. Tìm tất cả nghiệm thực của hệ :
$$\left\{\begin{matrix} x+x^2y=y+2\\ (2x+y)^2+3y^2=12 \end{matrix}\right.$$
Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC và các đường cao AD, BE, CF. Các đường tròn đường kính AB, AC theo thứ tự cắt tia DF, DE tại Q, P. Gọi N là tâm ngoại tiếp tam giác DEF. Chứng minh rằng :
a) AN $\perp$ PQ
b) AN, BP, CQ đồng quy
Câu 4. Cơ sở dữ liệu tạp chí của thư viện Quốc Gia có đúng 2016 loại khác nhau . Thư viện này cho phép 2013 thư viện địa phương kết nối để có thể khai thác cơ sở dữ liệu tạp chí của nó. Biết mỗi thư viện địa phương được phép khai thác ít nhất 1008 loại tạp chí khác nhau và 2 thư viện địa phương bất kì có tối đa 504 loại tạp chí mà cả 2 thư viện địa phương đó cùng đc phép khai thác. Chứng minh rằng không có quá 1 loại tạp chí trong cơ sở dữ liệu của thư viện Quốc Gia mà cả 2013 thư viện địa phương đều không thể khai thác được.
Tiếp tục cập nhật...
Monday, August 3, 2015
Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán năm học 2013 - 2014
Bài viết chia thành 2 phần vì quá dài: Xem phần 2 ở đây.
VNMATH giới thiệu Tuyển tập Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 12 các tỉnh năm học 2013 - 2014.
1. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014
2. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Giang năm học 2013 - 2014
3. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lâm Đồng năm học 2013 - 2014
Bài 1: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2} \\ \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1 \\ \end{matrix} \right.$$ .
Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$
Bài 3:
1) Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ lần lượt có bán kính là ${{R}_{1}},{{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( {{O}_{1}} \right)$ ($M$ khác $A$), tiếp tuyến của $\left( {{O}_{1}} \right)$ tại $M$ cắt $\left( {{O}_{2}} \right)$ tại $B$ và $C$. Gọi $M'$ ($M'$ khác $A$) là giao điểm của $AM$ với $\left( {{O}_{2}} \right)$.
a) Chứng minh $AM’$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ .
b) Tìm quỹ tích tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
2) Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ và đường kính $AB$, trên đoạn $IB$ lấy điểm $C$ ($C$ khác $I$ và $B$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $AB$ tại $C$ và $H$ là điểm thay đổi trên $(d)$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại điểm $D$ và đường tròn $BH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ luôn đi qua điểm cố định.
Bài 4: Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi
$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$
a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $
b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$
Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho
$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$
4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm học 2013 - 2014
5. Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014 Xem và thảo luận tại đây/
6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2013 - 2014
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$
Câu 2 (4.0 điểm)
Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số $({{x}_{n}})$ được xác định như sau:
$${{x}_{1}}=a\,;\,\,{{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}{{{x}_{n}}+1},$$ (tử số có n dấu căn); $\forall n=1,2,3...$
Tính giới hạn của dãy số $({{x}_{n}})$.
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xyz)-f(x)f(yz)\ge \frac{1}{4},\forall x,y,z\in \mathbb{R}$.
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và $M, N$ là hai điểm di động trên đường thẳng $BC$ sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$. Đường thẳng $d_1$ đi qua $M$ và vuông góc với $AC$, đường thẳng $d_2$ đi qua $N$ và vuông góc với $AB$. Gọi $K$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Chứng minh rằng trung điểm $I$ của đoạn $AK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (4.0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.
Câu 6 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& 9{{y}^{4}}+24{{y}^{3}}-x{{y}^{2}}+7{{y}^{2}}=16-x+24y \\
& 8{{y}^{3}}+9{{y}^{2}}+20y-\sqrt[3]{6y+1}+15=x \\
\end{align} \right.\,\,(x,y\in \mathbb{R}\,)$
Câu 7 (5,0 điểm).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $xyz = 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{3}}}+\frac{8}{{{\left( 2+y \right)}^{3}}}+\frac{64}{{{\left( 4+z \right)}^{3}}}$.
Câu 8 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn $(I)$ và $(J)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $IA\perp JA$. Đường thẳng $IJ$ cắt hai đường tròn tại $C, E, D, F$ sao cho các điểm $C, I, E, D, J, F$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. $BE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm thứ hai $K$ và cắt $AC$ tại $M$. $BD$ cắt đường tròn $(J)$ tại điểm thứ hai $L$ và $AF$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng: $MN\bot AB$.
b) Chứng minh rằng: $KE.LN.ID=JE.KM.LD$.
Câu 9 (5,0 điểm).
Cho các số nguyên dương $n, k, p$ với $k\ge 2$ và $k\left( p+1 \right)\le n$. Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.
2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau trong hai cách đó).
7. Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK, Tp. Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014. Xem và thảo luận tại đây/
Câu I (5,0 điểm).
1. Giải phương trình $x^2+6x+1=\left(2x+1 \right)\sqrt{x^2+2x+3}$
2. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}x^3+2x^2=5-2y
& \\ \left(15-2x \right)\sqrt{6-x}-\left(4y+9 \right)\sqrt{2y+3}=0
\end{matrix}\right.$$
Câu II (5,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$, $x - y = 0$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$ và $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $5\sqrt{2}$.
2. Cho tam giác $ABC$, gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$, vẽ đường tròn tâm $D$ qua $A$ và $B$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên đường tròn đó. Chứng minh rằng $MA^2+MB^2=MC^2$.
Câu III (4,0 điểm).
Cho số thực $\alpha \in \left(0;1 \right)$, xét dãy số $\left(u_{n} \right)$ với
$$\left\{\begin{matrix}u_{1}=\alpha
& \\ u_{n+1}=\frac{1}{2014}u_{n}^{2}+\frac{2013}{2014}\sqrt{u_{n}}
\end{matrix}\right.$$
1. Chứng minh rằng $0<u_{n}<1$
2. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_{n} \right)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu IV (3,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1$. Chứng minh rằng $$abc\leq 1.$$
Câu V (3,0 điểm).
Cho phương trình $\sqrt{21+4x-x^2}-\frac{3}{4}x+3=m\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{7-x} \right)$. Tìm m để phương trình có nghiệm.
10. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam 2013. Xem và thảo luận tại đây.
1. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hà Nội năm học 2013 - 2014
Câu 1 (4 điểm)
Giải hệ phương trình
$$\left\{\begin{matrix} 3x^{2}-8x+2(x-1)\sqrt{x^{2}-2x+2}=2(y+2)\sqrt{y^{2}+4y+5} & & \\ x^{2}+2y^{2}=4x-8y-6 & & \end{matrix}\right.$$
Câu 2 (4 điểm)
Cho ba số dương $a,b,c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.CMR
$$a\sqrt{\frac{b+c}{a^{2}+bc}}+b\sqrt{\frac{c+a}{b^{2}+ca}}+c\sqrt{\frac{a+b}{c^{2}+ab}}\leq \frac{3}{abc}$$
Câu 3 (4 điểm)
Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{ABC}<\widehat{BAC}$. Trên đường thẳng $BC$ lấy điểm $D$ thỏa mãn $\widehat{CAD}=\widehat{ABC}$.Đường tròn $(O)$ bất kì đi qua $B,D$ cắt $AB,AD$ lần lượt tại $M,N$ .Kẻ hai tiếp tuyến $AP,AQ$ với $(O),P,Q$ thuộc $(O)$. Gọi $G$ là giao điểm của $BN$ và $DM$, gọi $I$ là trung điểm của $AG$.
a/ CMR: $P,Q,G$ thẳng hàng.
b/ CMR: $CI$ vuông góc với $AG$.
Câu 4 (4 điểm)
Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa mãn
$$\left\{\begin{matrix} x_{1}=0,x_{2}=1 & & \\ x_{n+1}=\frac{3x_{n-1}+2}{10x_{n}+2x_{n-1}+2},n\geq 2 & & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng dãy $(x_{n})$ có giới hạn và tìm $lim x_{n}$
Câu 5 (4 điểm)
Tìm cặp các số nguyên $(a,b)$ sao cho
$$\frac{b^{2}+ab+a+b-1}{a^{2}+ab+1}$$
là một số nguyên.
Bài 1: Giải hệ phương trình
$$\left\{ \begin{matrix} 8{{x}^{3}}+2y=\sqrt{y+5x+2} \\ \left( 3x+\sqrt{1+9{{x}^{2}}} \right)\left( y+\sqrt{1+{{y}^{2}}} \right)=1 \\ \end{matrix} \right.$$ .
Bài 2: Cho $a,b,c$ là 3 số thực dương thỏa $abc=1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$$P=\frac{bc}{{{a}^{2}}b+{{a}^{2}}c}+\frac{ca}{{{b}^{2}}c+{{b}^{2}}a}+\frac{ab}{{{c}^{2}}a+{{c}^{2}}b}$$
Bài 3:
1) Cho hai đường tròn $\left( {{O}_{1}} \right)$ và $\left( {{O}_{2}} \right)$ lần lượt có bán kính là ${{R}_{1}},{{R}_{2}}\left( {{R}_{1}}<{{R}_{2}} \right)$ tiếp xúc trong tại $A$. Gọi $M$ là điểm di động trên $\left( {{O}_{1}} \right)$ ($M$ khác $A$), tiếp tuyến của $\left( {{O}_{1}} \right)$ tại $M$ cắt $\left( {{O}_{2}} \right)$ tại $B$ và $C$. Gọi $M'$ ($M'$ khác $A$) là giao điểm của $AM$ với $\left( {{O}_{2}} \right)$.
a) Chứng minh $AM’$ là đường phân giác của góc $\widehat{ABC}$ .
b) Tìm quỹ tích tâm $I$ của đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
2) Cho đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I$ và đường kính $AB$, trên đoạn $IB$ lấy điểm $C$ ($C$ khác $I$ và $B$). Đường thẳng $(d)$ vuông góc với $AB$ tại $C$ và $H$ là điểm thay đổi trên $(d)$. Đường thẳng $AH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại điểm $D$ và đường tròn $BH$ cắt đường tròn $\left( C\right)$ tại $E$. Chứng minh đường thẳng $DE$ luôn đi qua điểm cố định.
Bài 4: Cho dãy số $\left( {{x}_{n}} \right),n=1,2,3,...$ xác định bởi
$$\left\{ \begin{matrix} {{x}_{1}}=1 \\ {{x}_{n+1}}=\sqrt{{{x}_{n}}\left( {{x}_{n}}+1 \right)\left( {{x}_{n}}+2 \right)\left( {{x}_{n}}+3 \right)+1}\end{matrix} \right.,n=1,2,3,...$$
a) Chứng minh : $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,{{x}_{n}}=+\infty $
b) Tìm $\underset{n\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\sum\limits_{k=1}^{n}{\frac{1}{{{x}_{k}}+2}}$
Bài 5: Tìm tất cả hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ sao cho
$$f\left( x \right)+f\left( {{x}^{4}} \right)=4026+x+{{x}^{4}}$$
4. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Tháp năm học 2013 - 2014
Câu 1:
a) Giải phương trình $(2cos x-1)(sinx+cosx)=1$
b) Cho $a,b,c$ là số thực dương. Chứng minh rằng ta có
$$\frac{2}{(a+b)^2}+\frac{2}{(b+c)^2}+\frac{2}{(a+c)^2}\geq\frac{1}{a^2+bc}+\frac{1}{b^2+ac}+\frac{1}{c^2+ab}$$
Câu 2:
a) Chứng minh nếu $p$ là số nguyên tố dạng $4k+3$ thì không tồn tại số nguyên dương $n$ sao cho $n^2+1$ chia hết cho $p$
b) Giải phương trình nghiệm nguyên $(x+y)^2+2=2x+2013y$.
Câu 3:
Cho dãy $a_n$ thoả $a_1=\dfrac{1}{2}$, $a_{n+1}=a_n+ \dfrac{n^2}{2013}$, $n \geq 1$
a) Chứng minh dãy tăng nhưng không bị chặn trên
b) Đặt $S_n=\sum_{i=1}^{n}\dfrac{1}{a_1+2013}.$ Tìm $\lim_{n\to +\propto} S_n$
Câu 4:
Tam giác $ABC$ nhọn có $H$ là trực tâm, $AH,BH,CH$ lần lượt cắt $BC,CA,AB$ tại $M,N,P$. $AE$ và $MF$ cùng vuông gọc với $NP$ (trong đó $E$, $F$ thuộc $NP$)
a) Chứng minh rằng $H$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $MNP$ và $A$ là tâm đường tròn bàng tiếp góc $M$ của $MNP$
b) Chứng minh $EH$ đi qua trung điểm của $MF$
Câu 5:
Cho dãy các phân số: $\dfrac{1}{1},\dfrac{1}{2},...,\dfrac{1}{2012},\dfrac{1}{2013}$. Người ta biến đổi dãy bằng cách xoá đi $2$ số $a,b$ bất kì và thay bằng số $a+b+ab$. Sau một lần biến đổi các số hạng giảm đi $1$ đơn vị so với dãy trước. Chứng minh rằng giá trị của số hạng cuối sau $2012$ lần biến đổi không phụ thuộc vào thứ tự thực hiện và tìm giá trị đó.
5. Đề thi học sinh giỏi thành phố Đà Nẵng năm học 2013 - 2014 Xem và thảo luận tại đây/
6. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Bình năm học 2013 - 2014
Câu 1 (4.0 điểm)
Giải phương trình $x=\sqrt{3-x}.\sqrt{4-x}+\sqrt{4-x}.\sqrt{5-x}+\sqrt{5-x}.\sqrt{3-x}$
Câu 2 (4.0 điểm)
Cho a là số thực dương tùy ý. Xét dãy số $({{x}_{n}})$ được xác định như sau:
$${{x}_{1}}=a\,;\,\,{{x}_{n+1}}=\frac{{{x}_{n}}\sqrt{2+\sqrt{2+...+\sqrt{2}}}}{{{x}_{n}}+1},$$ (tử số có n dấu căn); $\forall n=1,2,3...$
Tính giới hạn của dãy số $({{x}_{n}})$.
Câu 3 (4.0 điểm)
Tìm các hàm số $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ thỏa mãn:
$\frac{1}{2}f(xy)+\frac{1}{2}f(xyz)-f(x)f(yz)\ge \frac{1}{4},\forall x,y,z\in \mathbb{R}$.
Câu 4 (4.0 điểm)
Cho tam giác $ABC$ và $M, N$ là hai điểm di động trên đường thẳng $BC$ sao cho $\overrightarrow{MN}=\overrightarrow{BC}$. Đường thẳng $d_1$ đi qua $M$ và vuông góc với $AC$, đường thẳng $d_2$ đi qua $N$ và vuông góc với $AB$. Gọi $K$ là giao điểm của $d_1$ và $d_2$. Chứng minh rằng trung điểm $I$ của đoạn $AK$ luôn nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 5 (4.0 điểm)
Chứng minh rằng trong 39 số tự nhiên liên tiếp bất kỳ luôn có ít nhất một số có tổng các chữ số chia hết cho 11.
Câu 6 (5,0 điểm).
Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{align}
& 9{{y}^{4}}+24{{y}^{3}}-x{{y}^{2}}+7{{y}^{2}}=16-x+24y \\
& 8{{y}^{3}}+9{{y}^{2}}+20y-\sqrt[3]{6y+1}+15=x \\
\end{align} \right.\,\,(x,y\in \mathbb{R}\,)$
Câu 7 (5,0 điểm).
Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn: $xyz = 8$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$P=\frac{1}{{{\left( 1+x \right)}^{3}}}+\frac{8}{{{\left( 2+y \right)}^{3}}}+\frac{64}{{{\left( 4+z \right)}^{3}}}$.
Câu 8 (5,0 điểm).
Cho hai đường tròn $(I)$ và $(J)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ sao cho $IA\perp JA$. Đường thẳng $IJ$ cắt hai đường tròn tại $C, E, D, F$ sao cho các điểm $C, I, E, D, J, F$ nằm trên đường thẳng theo thứ tự đó. $BE$ cắt đường tròn $(I)$ tại điểm thứ hai $K$ và cắt $AC$ tại $M$. $BD$ cắt đường tròn $(J)$ tại điểm thứ hai $L$ và $AF$ tại $N$.
a) Chứng minh rằng: $MN\bot AB$.
b) Chứng minh rằng: $KE.LN.ID=JE.KM.LD$.
Câu 9 (5,0 điểm).
Cho các số nguyên dương $n, k, p$ với $k\ge 2$ và $k\left( p+1 \right)\le n$. Cho n điểm phân biệt cùng nằm trên một đường thẳng. Tô n điểm đó bằng hai màu xanh, đỏ (mỗi điểm chỉ tô đúng một màu). Tìm số cách tô màu khác nhau, sao cho các điều kiện sau đồng thời được thỏa mãn:
1) Có đúng k điểm được tô bởi màu xanh.
2) Giữa hai điểm màu xanh liên tiếp (tính từ trái qua phải) có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
3) Ở bên phải điểm tô màu xanh cuối cùng có ít nhất p điểm được tô màu đỏ.
(Hai cách tô màu được gọi là khác nhau nếu có ít nhất một điểm được tô màu khác nhau trong hai cách đó).
7. Đề thi chọn đội tuyển trường PTNK, Tp. Hồ Chí Minh năm học 2013 - 2014. Xem và thảo luận tại đây/
8. Đề thi học sinh giỏi Tp. Cần Thơ năm học 2013 - 2014
Câu 1: Giải hệ phương trình sau:
$$\left\{\begin{matrix} x^3+3xy^2=25 & & \\x^2+6xy+y^2=10x+6y-1 & & \end{matrix}\right.(x,y\in\mathbb{R})$$
Câu 2: Cho tam giác $ABC$ có ba góc đều nhọn, $AB<AC$, $AH$ là đường cao và $AD$ là đường phân giác trong. Gọi $E, F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $D$ trêm các cạnh $AC$ và $AB, M$ là giao điểm của $BE$ và $CF$.
1. Chứng minh ba điểm $A, M, H$ thẳng hàng.
2. Gọi $K$ là giao điểm của $EF$ và $BC$. Chứng minh $\frac{HB}{HC}=\frac{KB}{KC}$.
3. Gọi $N$ là giao điểm của $BC$ với đường kính qua $A$ của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Chứng minh : $\frac{HB}{HC}\frac{NB}{NC}<1$
Câu 3: Cho $a, b, c$ ;à ba số nguyên khác không và thỏa mãn $a^2b+b^2c+c^2a=3abc(1)$
1. Hãy chỉ ra một bộ số nguyên $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa$(1)$
2. Chứng minh $abc$ là lập phương của một số nguyên.
Câu 4: Cho các đa thức $P(x), Q(x)$ với hệ số thức thỏa mãn điều kiệm $P(x)=Q(x)+Q(1-x),\forall x\in\mathbb{R}$. Biết $P(0)=0$ và các hệ số của $P(x)$ đều không âm. Tính $P(P(2013))$.
Câu 5: Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{Z}\mapsto \mathbb{Z}$ thỏa mãn các điều kiện :
$$\left\{\begin{matrix} f(0)=1 & & \\f \left ( f(m+n) +m\right )=n & & \end{matrix}\right.\forall m, n\in\mathbb{Z}$$
Câu 6: Một bảng ô vuông không giới hạn số dòng, số cột và trên đó mới chỉ ghi hai số $1$ và $3$ vào hai ô khác nhau. Ta thực hiện trò chơi viết thêm số vào các ô vuông như sau: nếu trên bảng có hai số tự nhiên $a$ và $b$ thì được phép viết thêm số $c=a+b+ab$ vào ô vuông còn trống trên bảng. Hỏi bằng cách đó trên bảng có thể xuất hiện được các số $2509$ và $20132014$ hay không? Giải thích tại sao?
9. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Long An 2013Câu I (5,0 điểm).
1. Giải phương trình $x^2+6x+1=\left(2x+1 \right)\sqrt{x^2+2x+3}$
2. Giải hệ phương trình $$\left\{\begin{matrix}x^3+2x^2=5-2y
& \\ \left(15-2x \right)\sqrt{6-x}-\left(4y+9 \right)\sqrt{2y+3}=0
\end{matrix}\right.$$
Câu II (5,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng toạ độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ cân tại $A$, cạnh $AB$ và $BC$ lần lượt nằm trên các đường thẳng $x - 2y + 1 = 0$, $x - y = 0$. Tìm toạ độ các đỉnh $A$ và $C$ biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ bằng $5\sqrt{2}$.
2. Cho tam giác $ABC$, gọi $D$ là điểm đối xứng của $C$ qua $AB$, vẽ đường tròn tâm $D$ qua $A$ và $B$. Gọi $M$ là điểm bất kì trên đường tròn đó. Chứng minh rằng $MA^2+MB^2=MC^2$.
Câu III (4,0 điểm).
Cho số thực $\alpha \in \left(0;1 \right)$, xét dãy số $\left(u_{n} \right)$ với
$$\left\{\begin{matrix}u_{1}=\alpha
& \\ u_{n+1}=\frac{1}{2014}u_{n}^{2}+\frac{2013}{2014}\sqrt{u_{n}}
\end{matrix}\right.$$
1. Chứng minh rằng $0<u_{n}<1$
2. Chứng minh rằng dãy số $\left(u_{n} \right)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó.
Câu IV (3,0 điểm). Cho ba số thực dương a,b,c thoả mãn $\frac{1}{2+a}+\frac{1}{2+b}+\frac{1}{2+c}\geq 1$. Chứng minh rằng $$abc\leq 1.$$
Câu V (3,0 điểm).
Cho phương trình $\sqrt{21+4x-x^2}-\frac{3}{4}x+3=m\left(\sqrt{x+3}+2\sqrt{7-x} \right)$. Tìm m để phương trình có nghiệm.
10. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam 2013. Xem và thảo luận tại đây.
11. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bình Phước năm 2013 - 2014. Xem và thảo luận tại đây.
12. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lạng Sơn 2013
12. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Lạng Sơn 2013
Câu 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số:
$$y=2x^2-4x+6\sqrt{(x+4)(6-x)}+3$$
trên đoạn $[-4;6]$.
Câu 4.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.
a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
Câu 5.
Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$
Đặt $$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$
Tìm $\lim S_n$.
13. Đề thi học sinh giỏi tỉnh An Giang 2013
Câu 1. Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d):y=m(x-1)+2$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau với $x>0$ $$y=f(x)=2x+\dfrac{1}{x}+\sqrt{2\left(1+\dfrac{1}{ x^2}\right)}$$
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau :
a) $\sin{2x}+\dfrac{1}{2}\tan{x}=\dfrac{3}{2}-\cos{2x}$
b) $\begin{cases} y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\dfrac{1}{5}y^2+y \end{cases}$
Câu 4. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $(\Delta):x-y+2=0$, $(d):3x+y-4=0$ và điểm $A(2;2)$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua điểm $A$ có tâm nằm trên đường thẳng $d$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.
14. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2013. Xem và thảo luận tại đây
15. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh 2013. Xem và thảo luận tại đây
16. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2013
Câu 1.
a) Từ đỉnh $Q$ của một hình bình hành $PQRS$ kẻ các đường thẳng $QE$ vuông góc với $RS$($E$ thuộc đoạn $RS$, $E$ khác $R$ và khác $S$) và $QK$ vuông góc cới $PS$ ($K$ thuộc đoạn $PS$, $K$ khác $P$ và khác $S$). Biết $KE=x$; $QS=y$ ($y>x$). Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $QEK$. Tính $QH$ theo $x$ và $y$.
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ gọi $(d)$ là đường thẳng cắt parabol $(P)$: $y^2=4x$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ ($A, B$ khác gốc tọa độ $O$) sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 2.
a) Cho $f(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu n số $f(0), f(1), f(2), ..., f(n-1)$ đều không chia hết cho $n$ ($n$ là số tự nhiên, $n\ge 2$) thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tính tổng của tất cả các số vừa tìm.
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) $\sqrt{x+8}+\dfrac{9x}{\sqrt{x+8}}-6\sqrt{x}=0$.
b) $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}=2x-y \\
{{y}^{2}}=2y-z \\
{{z}^{2}}=2z-t \\
{{t}^{2}}=2t-x \\
\end{matrix} \right.$
Câu 4. Có ba trường học mỗi trường có $n$ học sinh. Một học sinh bất kỳ có tổng số người quen từ hai trường học kia là $n+1$. Chứng minh rằng có thể chọn được ở mỗi trường học một học sinh sao cho ba học sinh này quen lẫn nhau.
17. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013
Câu 1. (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
$$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}.$$
Câu 2. (4 điểm) Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+8}{2(x_n-1)},n\in N^* & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$). Gọi $M,K$ lần lượt là là trung điểm của $BC$ và $AD$. Hai đường thẳng $BK$ và $AM$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E,F$.
Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:
$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x, \forall x,y \in \mathbb{R}.$$
Câu 5. (4 điểm) Người ta xếp $2014$ bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý $5$ bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong $5$ bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của $5$ bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc. Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc.
18. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai 2013
Câu 1.
Cho hàm số $y=x^3+3ax^2+3bx$ (với $a,b$ là hai tham số thực,$x$ là biến thực).Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B thỏa $AB >2$ khi và chỉ khi $2(a^2-b)>1$.
Câu 2.
Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
x^2y+xy+2x-12y-24=0 & & \\
x^3-y^3=2(x^2+y^2+xy)+3(x-y-2)& &
\end{matrix}\right.$$
Câu 3.
Giải phương trình:$cos(2x).cot(2x)=cosx.cotx$
Câu 4.
Cho a,b,c là ba số thực đều lớn 1 thỏa $a+b+c=abc$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$.
Câu 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2a$,với $a>0$.Biết SAB là tam giác đều,góc giữa mp(SCD) và đáy bằng 60 độ.Gọi điểm H là hình chiếu của S lên mặt đáy,H ở trong hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm cạnh AB.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo $a$.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo $a$.
Câu 6.
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
Xác định số phần tử của T.Chọn ngẫu nhiên một số phân biệt từ tập T,tính sác xuất để số được chọn là số chia hết cho 6.
19. Đề thi chọn đội tuyển học sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2013-2014
Bài 1. Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.tan4x-1=0\\$
Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao hco $3^n+5$ là số chính phương .
Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$.
Bài 5. Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2013
Câu 1
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$
Câu 2
Giải phương trình: $64\cos^{6}x+56\cos^{2}x=2\sqrt{1-\cos^{2}x}+112\cos^{2}4x+7$, với $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
Câu 3
Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} 3x+y-3\geq 0\\ 3x-y-3\leq 0 \\ 2y-x-6\leq 0 \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=2x(x-1)-4(y+x)+2(y^{2}+x)$
Câu 4
1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết hai cạnh $AB$ và $BC$ có độ dài không đổi $AB=a$, $BC=b$ và tam giác $ACD$ là tam giác đều.
Tính độ dài $AC$ theo $a$ và $b$ khi $BD$ có độ dài lớn nhất.
2. Trên một khu rừng đủ rộng, người ta trồng nhiều cây thông con. Xem các gốc cây thông là các điểm (đường kính gốc cây không đáng kể). Chứng minh rằng nếu ta trồng cây sao cho các tam giác có đỉnh là các điểm tạo bởi các gốc cây thông đều có diện tích không quá $500 m^2$ thì tồn tại một tam giác có diện tích không quá $2014 m^2$,chứa tất cả các cây thông này.
Câu 5
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{x} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right ),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$$
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Trà Vinh 2013. Xem và thảo luận tại đây.
21. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình 2013. Xem và thảo luận tại đây.
22. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2013
Câu 5: Tìm tất cả các đa thức $P(x), Q(x)$ có hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$ và thỏa mãn điều kiện
$$P(1)+P(2)+...+P(n)=Q(1+2+...+n),\forall n\in\mathbb{N}^*.$$
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có đúng $12$ ước nguyên dương thỏa đồng thời các điều kiện sau
trên đoạn $[-4;6]$.
Câu 2.
Giải phương trình:
$$\sin 3x + \sin 2x + \sin x + 1 = \cos 3x + \cos 2x - \cos x$$Câu 3.
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}x^3-3x^2+6x-4=y^3+3y\\ \sqrt{x-3}+\sqrt{y+1}=3 \end{matrix}\right.$$Câu 4.
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$, cạnh $a$. Hình chiếu vuông góc của đỉnh $S$ lên mặt phẳng $(ABCD)$ là trung điểm $H$ của đoạn thẳng $AO$. Biết $SH=2a$.
a) Tính cosin góc giữa hai mặt phẳng $(SCD)$ và $(ABCD)$.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.
Câu 5.
Cho dãy số $(a_n)$ xác định như sau:
$$\left\{\begin{matrix}a_1&=&5 \\ a_{n+1} &=& \frac{a_n^2-2a_n+16}{6}\end{matrix}\right.$$
Đặt $$S = \sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i+2}$$
Tìm $\lim S_n$.
13. Đề thi học sinh giỏi tỉnh An Giang 2013
Câu 1. Cho hàm số $y=x^3-3x$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $(d):y=m(x-1)+2$. Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(C)$ tại 3 điểm phân biệt
Câu 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau với $x>0$ $$y=f(x)=2x+\dfrac{1}{x}+\sqrt{2\left(1+\dfrac{1}{ x^2}\right)}$$
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau :
a) $\sin{2x}+\dfrac{1}{2}\tan{x}=\dfrac{3}{2}-\cos{2x}$
b) $\begin{cases} y^2-5\sqrt{x}+5=0 \\ \sqrt{x+2}=\sqrt{y^2+2y+3}-\dfrac{1}{5}y^2+y \end{cases}$
Câu 4. Trong mặt phẳng $Oxy$ cho hai đường thẳng $(\Delta):x-y+2=0$, $(d):3x+y-4=0$ và điểm $A(2;2)$. Viết phương trình đường tròn $(C)$ đi qua điểm $A$ có tâm nằm trên đường thẳng $d$ và tiếp xúc với đường thẳng $\Delta$.
Câu 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có $SA=SB=SD=BD=2a$,$AB=BC=a$, $\widehat{CBD}=2\widehat{ADB}$, $\widehat{ABD}=2\widehat{BDC}$. Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$ theo $a$.
14. Đề thi học sinh giỏi thành phố Hải Phòng 2013. Xem và thảo luận tại đây
15. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bắc Ninh 2013. Xem và thảo luận tại đây
16. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bến Tre 2013
Câu 1.
a) Từ đỉnh $Q$ của một hình bình hành $PQRS$ kẻ các đường thẳng $QE$ vuông góc với $RS$($E$ thuộc đoạn $RS$, $E$ khác $R$ và khác $S$) và $QK$ vuông góc cới $PS$ ($K$ thuộc đoạn $PS$, $K$ khác $P$ và khác $S$). Biết $KE=x$; $QS=y$ ($y>x$). Gọi $H$ là trực tâm của tam giác $QEK$. Tính $QH$ theo $x$ và $y$.
b) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ gọi $(d)$ là đường thẳng cắt parabol $(P)$: $y^2=4x$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ ($A, B$ khác gốc tọa độ $O$) sao cho tam giác $OAB$ vuông tại $O$. Chứng minh rằng đường thẳng $(d)$ luôn đi qua một điểm cố định.
Câu 2.
a) Cho $f(x)$ là một đa thức với hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu n số $f(0), f(1), f(2), ..., f(n-1)$ đều không chia hết cho $n$ ($n$ là số tự nhiên, $n\ge 2$) thì phương trình $f(x)=0$ không có nghiệm nguyên.
b) Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và tính tổng của tất cả các số vừa tìm.
Câu 3. Giải phương trình và hệ phương trình sau:
a) $\sqrt{x+8}+\dfrac{9x}{\sqrt{x+8}}-6\sqrt{x}=0$.
b) $\left\{ \begin{matrix}
{{x}^{2}}=2x-y \\
{{y}^{2}}=2y-z \\
{{z}^{2}}=2z-t \\
{{t}^{2}}=2t-x \\
\end{matrix} \right.$
Câu 4. Có ba trường học mỗi trường có $n$ học sinh. Một học sinh bất kỳ có tổng số người quen từ hai trường học kia là $n+1$. Chứng minh rằng có thể chọn được ở mỗi trường học một học sinh sao cho ba học sinh này quen lẫn nhau.
17. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Bà Rịa Vũng Tàu 2013
Câu 1. (4 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực
$$8x^3-12x^2+5x=\sqrt[3]{3x-2}.$$
Câu 2. (4 điểm) Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=2013 & \\ x_{n+1}=\dfrac{x_{n}^{2}+8}{2(x_n-1)},n\in N^* & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh dãy số $(x_{n})$ có giới hạn và tìm giới hạn đó.
Câu 3. (4 điểm) Cho tam giác $ABC$ không cân, nội tiếp đường tròn $(O)$. Hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $B$ và $C$ cắt nhau tại điểm $I$. Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm $D$ ($D$ khác $A$). Gọi $M,K$ lần lượt là là trung điểm của $BC$ và $AD$. Hai đường thẳng $BK$ và $AM$ lần lượt cắt $(O)$ tại điểm thứ hai là $E,F$.
- Chứng minh $\widehat{BAD}=\widehat{MAC}$.
- Chứng minh hai đường thẳng $EF$ và $AB$ song song với nhau.
Câu 4. (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thoả mãn điều kiện:
$$f(xy+f(x))+f(x-yf(x))=2x, \forall x,y \in \mathbb{R}.$$
Câu 5. (4 điểm) Người ta xếp $2014$ bóng đèn đang bật sáng thành một hàng dài, từ trái sang phải. Hai người cùng thực hiện một trò chơi như sau: Lần lượt từng người chọn tuỳ ý $5$ bóng đèn liên tiếp, trong đó bóng đèn đầu tiên bên trái trong $5$ bóng đèn được chọn phải đang sáng và thay đổi trạng thái của $5$ bóng đèn đó (từ sáng thành tắt và từ tắt thành sáng). Ai không thể thực hiện được nữa thì thua cuộc. Chứng minh rằng đến một lúc nào đó trò chơi phải kết thúc và dù cho có chơi như thế nào thì người đầu tiên luôn thua cuộc.
18. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Đồng Nai 2013
Câu 1.
Cho hàm số $y=x^3+3ax^2+3bx$ (với $a,b$ là hai tham số thực,$x$ là biến thực).Chứng minh rằng đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị A và B thỏa $AB >2$ khi và chỉ khi $2(a^2-b)>1$.
Câu 2.
Giải hệ phương trình:$$\left\{\begin{matrix}
x^2y+xy+2x-12y-24=0 & & \\
x^3-y^3=2(x^2+y^2+xy)+3(x-y-2)& &
\end{matrix}\right.$$
Câu 3.
Giải phương trình:$cos(2x).cot(2x)=cosx.cotx$
Câu 4.
Cho a,b,c là ba số thực đều lớn 1 thỏa $a+b+c=abc$.
Tìm giá trị nhỏ nhất của $P=\frac{a-2}{b^2}+\frac{b-2}{c^2}+\frac{c-2}{a^2}$.
Câu 5.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh $2a$,với $a>0$.Biết SAB là tam giác đều,góc giữa mp(SCD) và đáy bằng 60 độ.Gọi điểm H là hình chiếu của S lên mặt đáy,H ở trong hình vuông ABCD.Gọi M là trung điểm cạnh AB.
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo $a$.Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và AC theo $a$.
Câu 6.
Gọi T là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm có 4 chữ số phân biệt được chọn từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7.
Xác định số phần tử của T.Chọn ngẫu nhiên một số phân biệt từ tập T,tính sác xuất để số được chọn là số chia hết cho 6.
19. Đề thi chọn đội tuyển học sinh tỉnh Khánh Hòa năm 2013-2014
Bài 1. Giải phương trình $\tan^23x+2\tan3x.tan4x-1=0\\$
Bài 2. Cho dãy số $(u_n)$ thỏa mãn $u_1=\frac{1}{2}$, $u_{n+1}=u^2_n-u_n$ với mọi $n \in \mathbb{N^*}$. Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.
Bài 3. Tìm tất cả các số tự nhiên $n$ sao hco $3^n+5$ là số chính phương .
Bài 4. Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trên các đoạn $HB,HC$ lần lượt lấy 2 điểm $B_1, C_1$ sao cho $\widehat{AB_1C}=\widehat{AC_1B}=90$ độ. Chứng minh $AB_1=AC_1$.
Bài 5. Cho số nguyên $n>1$. Có tất cả bao nhiêu dãy số $(x_1,x_2,...,x_n)$ với $x_i \in \{a,b,c\}, i=1,2,...,n$ thỏa $x_1=x_n=a$ và $x_i$ khác $x_{i+1}$ khi $i=1,2,...,n-1$.
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Yên Bái 2013
Câu 1
Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} x-\frac{1}{x^{3}}=y-\frac{1}{y^{3}}\\ (x-4y)(2x-y+4)=-36 \end{matrix}\right.$
Câu 2
Giải phương trình: $64\cos^{6}x+56\cos^{2}x=2\sqrt{1-\cos^{2}x}+112\cos^{2}4x+7$, với $x\in \left [ 0;2\pi \right ]$
Câu 3
Cho hai số thực $x,y$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} 3x+y-3\geq 0\\ 3x-y-3\leq 0 \\ 2y-x-6\leq 0 \end{matrix}\right.$$
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $S=2x(x-1)-4(y+x)+2(y^{2}+x)$
Câu 4
1. Cho tứ giác lồi $ABCD$ biết hai cạnh $AB$ và $BC$ có độ dài không đổi $AB=a$, $BC=b$ và tam giác $ACD$ là tam giác đều.
Tính độ dài $AC$ theo $a$ và $b$ khi $BD$ có độ dài lớn nhất.
2. Trên một khu rừng đủ rộng, người ta trồng nhiều cây thông con. Xem các gốc cây thông là các điểm (đường kính gốc cây không đáng kể). Chứng minh rằng nếu ta trồng cây sao cho các tam giác có đỉnh là các điểm tạo bởi các gốc cây thông đều có diện tích không quá $500 m^2$ thì tồn tại một tam giác có diện tích không quá $2014 m^2$,chứa tất cả các cây thông này.
Câu 5
Tìm hàm số $f:(0;+\propto )\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn điều kiện:
$$\left\{\begin{matrix} f(1)=\frac{1}{2}\\ f(xy)=f(x).f\left ( \frac{2014}{x} \right )+f(y).f\left ( \frac{2014}{x} \right ),\forall x,y\in (0;+\propto ) \end{matrix}\right.$$
20. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Trà Vinh 2013. Xem và thảo luận tại đây.
21. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Ninh Bình 2013. Xem và thảo luận tại đây.
22. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Phú Thọ 2013
Câu 5: Tìm tất cả các đa thức $P(x), Q(x)$ có hệ số thực với hệ số bậc cao nhất bằng $1$ và thỏa mãn điều kiện
$$P(1)+P(2)+...+P(n)=Q(1+2+...+n),\forall n\in\mathbb{N}^*.$$
Câu 6: Tìm tất cả các số nguyên dương $n$ có đúng $12$ ước nguyên dương thỏa đồng thời các điều kiện sau
- $1=d_1<d_2<...<d_{12}=n$,
- $d_{d_4-1}=d_8(d_1+d_2+d_4)$.
- Đường tròn ngoại tiếp tam giác $I_aI_bI_c$ có tâm là $P$ và bán kính bằng $2R$.
- Điểm $K$ nằm trên đường thẳng Euler của tam giác $ABC$.
Friday, July 10, 2015
Giải câu 10 trong đề thi THPT quốc gia 2015 bằng nhiều cách
Câu 10. Cho các số thực $ a,b,c $ thuộc đoạn $ [1;3] $ và thỏa mãn $ a+b+c=6 $. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[ P=\dfrac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+12abc+72}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{2}abc. \]
Cách 1.
Ta có $ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2-12abc $ và $ (a-1)(b-1)(c-1)\geqslant 0\Leftrightarrow abc+a+b+c-ab-bc-ca-1\geqslant0\Rightarrow abc\geqslant ab+bc+ca-5 $.
Do đó \[ P\leqslant \dfrac{(ab+bc+ca)^2+72}{ab+bc+ca}-\dfrac{1}{2}(ab+bc+ca-5). \]
Nếu đặt $ ab+bc+ca=t $ thì $ P\leqslant t+\dfrac{72}{t}-\dfrac{t}{2}+\dfrac{5}{2}=\dfrac{t}{2}+\dfrac{72}{t}+\dfrac{5}{2}$.
Mặt khác ta có \[(3-a)(3-b)(3-c)\geqslant 0 \Leftrightarrow 27+3(ab+bc+ca)\geqslant 9(a+b+c)+abc\geqslant 54+ab+bc+ca-5,\] suy ra $ ab+bc+ca\geqslant 11 $.
Kết hợp với $ (a+b+c)^2\geqslant 3(ab+bc+ca)\Rightarrow ab+bc+ca\leqslant 12 $ để có $11\leqslant t\leqslant 12 $.
Hàm số $ f(t)=\dfrac{t}{2}+\dfrac{72}{t}+\dfrac{5}{2} $ có $ f'(t)=\dfrac{1}{2}-\dfrac{72}{t^2}=\dfrac{(t-12)(t+12)}{2t^2}\leqslant 0 $ với mọi $ t\in [11;12] $ nên hàm $ f(t) $ nghịch biến trên $[11;12] $, dẫn đến $ P=f(t)\leqslant f(11)=\dfrac{160}{11} $.
Vậy GTLN của $ P $ bằng $\dfrac{160}{11}$ đạt tại $ a=1, b=2, c=3 $ và các hoán vị của nó.
Cách 2.
Đặt $p=a+b+c=6, q=ab+bc+ca, r=abc$ và $f(x)=x^3-6x2+qx-r$.
Ta có $ a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2=(ab+bc+ca)^2-2abc(a+b+c)=(ab+bc+ca)^2-12abc $ và $f'(x)=3x^2-12x+q$.
Khi đó $$P=q+\frac{72}{q}-\frac{r}{2}$$ và $a, b, c$ là nghiệm của phương trình $f(x)=0$.
Vì $a, b, c\in [1,3]$ nên $f(1)\leq 0, f(3)\geq 0, \Delta_{f'}\geq 0$.
Suy ra $r\geq q-5, r\leq 3q-27, 11\leq q\leq 12$.
Từ đó $$P\leq q+\frac{72}{q}-\frac{q-5}{2}=\frac{q}{2}+\frac{72}{q}+\frac{5}{2}.$$
$P$ lớn nhất khi $r=q-5$.
Vậy GTLN của $ P $ bằng $\dfrac{160}{11}$ đạt tại $ a=1, b=2, c=3 $ và các hoán vị của nó.
Câu 9. Giải phương trình $ \dfrac{x^2+2x-8}{x^2-2x+3}=(x+1)(\sqrt{x+2}-2) $ trên tập số thực.
Cách 1.
Khi đó phương trình đã cho có dạng $-t^7+2 t^6+7 t^5-13 t^4-17 t^3+32 t^2+11 t-30=0$
hay $(t-2) (t^2-t-3) (t^4+t^3-3 t^2-t+5) =0$.
Saturday, July 4, 2015
Đáp án chính thức đề thi THPT quốc gia 2015 tất cả các môn
Bộ GD-ĐT vừa công bố đáp án chính thức 8 môn thi THPT quốc gia 2015. VNMATH gửi tới bạn đọc đáp án và thang điểm chính thức từ bộ Giáo dục và Đào tạo.
Môn | Đề thi | Đáp án |
Toán | Toán | Đáp án |
Lý | Lý | Đáp án |
Hóa | Hóa | Đáp án |
Văn | Văn | Đáp án |
Sử | Sử | Đáp án |
Địa | Địa | Đáp án |
Sinh | Sinh | Đáp án |
Ngoại ngữ | ||
Tiếng Anh | Tiến Anh | Đáp án |
Tiếng Pháp | Tiếng Pháp | Đáp án |
Tiếng Đức | Tiếng Đức | Đáp án |
Tiếng Nga | Tiếng Nga | Đáp án |
Tiếng Nhật | Tiếng Nhật | Đáp án |
Tiếng Trung | Tiếng Trung | Đáp án |
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT 2015 MÔN NGỮ VĂN CỦA BỘ GDĐT
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT 2015 MÔN VẬT LÍ CỦA BỘ GDĐT
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT 2015 MÔN HÓA HỌC CỦA BỘ GDĐT
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT 2015 MÔN SINH HỌC CỦA BỘ GDĐT
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT 2015 MÔN TIẾNG ANH CỦA BỘ GDĐT
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT 2015 MÔN ĐỊA LÍ CỦA BỘ GDĐT
ĐÁP ÁN CHÍNH THỨC ĐỀ THI THPT 2015 MÔN LỊCH SỬ CỦA BỘ GDĐT
Thursday, July 2, 2015
Đáp án Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015
Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 thi sáng 1/7/2015.
Nhận xét về đề thi:
Đề thi Toán gồm 10 câu hỏi, mỗi câu 1 điểm. Đề thi được sắp xếp theo mức độ khó tăng dần rất thuận lợi cho thí sinh khi làm bài. So với các năm gần đây đề thi năm nay có phần nhẹ nhàng hơn. Thí sinh học khá có thể làm được 7 điểm một cách dễ dàng. Hơn nữa đề thi bám sát với tinh thần của Đề minh họa mà Bộ giáo dục đã công bố cách đây vài tháng.
Các câu từ 1 đến 7 rất cơ bản và có nhiều bài tập tương tự nằm trong sách giáo khoa. Thí sinh không cần học thêm nhiều có thể làm được các câu này.
Các câu từ 8 đến 10 dành cho thí sinh biết vận dụng đến vận dụng ở mức độ cao các kiến thức đã học. Riêng tìm giá trị lớn nhất (câu 10) thì dễ tiếp cận hơn các câu loại này năm trước. Dự kiến là sẽ có nhiều điểm 10 môn toán.
Bài giải Đề thi THPT quốc gia môn Toán 2015 của thầy Nguyễn Duy Hiếu, GV THPT chuyên Lê Hồng Phong, Thành phố Hồ Chí Minh. Download.
Gợi ý giải Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 từ báo Tuổi trẻ:
Đáp án chính thức Đề thi THPT Quốc gia môn Toán năm 2015 của Bộ: Cập nhật sau đợt thi.
Sunday, June 28, 2015
Đề thi vào lớp 10 môn toán năm học 2015 - 2016
1. Đề thi vào lớp 10 Phổ thông Năng khiếu Sài gòn năm học 2015 - 2016.
3. Đề thi vào lớp 10 chuyên Lê Hồng Phong, Nam Định năm học 2015 - 2016.
4. Đề thi vào lớp 10 tỉnh Vĩnh Long năm học 2015 - 2016.
5. Đề thi vào lớp 10 tỉnh kHÁNH hÒA năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
6. Đề thi vào lớp 10 tỉnh BÌNH DƯƠNG năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
7. Đề thi vào lớp 10 CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU, ĐỒNG THÁP năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
7. Đề thi vào lớp 10 CHUYÊN Đại học Khoa học Tự Nhiên, Hà Nội năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
8. Đề thi vào lớp 10 CHUYÊN LƯƠNG VĂN CHÁNH, PHÚ YÊN năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
9. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TRẦN HƯNG ĐẠO, BÌNH THUẬN năm học 2015 - 2016.DOWNLOAD.
10. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TỈNH NINH THUẬN năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
11. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH HÀ NAM năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
12. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN BẾN TRE năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
13. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG SÀI GÒN năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
14. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH năm học 2015 - 2016.
15. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
16. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH NAM ĐỊNH năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
17. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH THÁI BÌNH năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
18. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TỈNH VĨNH PHÚC năm học 2015 - 2016. TOÁN CHUYÊN. -- TOÁN CHUNG
19. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TỈNH NINH THUẬN năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
20. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ ĐÀ NẴNG năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
21. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH HÀ TĨNH năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
22. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHOS HCM năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
23. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH VĨNH PHÚC năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
24. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN TỈNH BẠC LIÊU năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
25. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN LAM SƠN THANH HÓA năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
26. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH HẢI DƯƠNG năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
27. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN PHỔ THONG NĂNG KHIẾU (KHÔNG CHUYÊN) năm học 2015 - 2016.DOWNLOAD.
28. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH THÙA THIÊN HUẾ năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
29. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN LONG AN năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
30. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH BẮC GIANG năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
31. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH NGHỆ AN năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
32. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HẢI PHÒNG năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
33. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH TRÀ VINH năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
34. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN THÀNH PHỐ HÀ NỘI năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
35. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN CHUYÊN HÀ NỘI - AMSTERDAM năm học 2015 - 2016.
36. Đề thi vào lớp 10 MÔN TOÁN TỈNH HƯNG YÊN năm học 2015 - 2016. DOWNLOAD.
37. Đề thi vào lớp 10 chuyên Quốc Học Huế năm học 2015 - 2016.