1. Hình học đã được phát triển ở hình thức tiên đề, còn Số học và Đại số thì không. Tại sao vậy?
Nguyên nhân nằm ở nguồn gốc của chúng.
Hình học đã được phát triển bởi người Ai Cập, là kết quả đo đạc đất đai của họ. Vào thế kỉ thứ 7 trước Công nguyên, hình học đã lan truyền từ Ai Cập sang Hi Lạp, nơi nó dần dần phát triển thành một lí thuyết toán học.
Như vậy, hình học là một lí thuyết toán học có nguồn gốc Hi Lạp. Người Hi Lạp đã gắn giá trị lớn cho các chứng minh và vì thế đã phát triển hình học theo hướng tiên đề.
Toán học của những con số của chúng ta có nguồn gốc của nó thuộc về toán học của người Hindu, người Arab và người Babylon.
Họ không quan tâm đến việc đưa ra các chứng minh nên toán học của những con số đã được truyền lại cho chúng ta đơn thuần ở dạng một tập hợp những quy tắc tính toán không liên quan với nhau mấy.
2. Ý nghĩa của từ “arithmetic” là gì?
Từ “arithmetic” (số học) có nghĩa là “nghệ thuật tính toán” nên việc học số học ở trường tiểu học của chúng ta là một tập hợp gồm những lời giải của những bài toán đa dạng và các quy tắc tính toán.
Nhưng theo thời gian số học đã biến thành lí thuyết số.
3. Số học là sự trừu tượng phải không?
Số học thể hiện những nỗ lực sớm nhất của trí tuệ con người về sự trừu tượng.
Do đó, khi chúng ta nói, 2 + 3 = 5, đó là một phát biểu không phải nói về những vật đặc biệt như cái bút chì hay đồng xu, mà về tất cả những vật có thể đếm được vẫn giữ được nhận dạng riêng của chúng.
Ở đây, bản chất của các vật, tức là chúng là cái bút chì hay đồng xu hay cây cối hay bất kì cái gì khác, dù sống hay không sống, vân vân... không còn liên quan nữa, và phát biểu thành ra đúng theo một kiểu chung chung.
Các con số được đặt tên (một, hai, ba,...) và kí hiệu (1, 2, 3,...) và được sử dụng như những vật cụ thể bền bỉ đến mức chúng ta có xu hướng quên mất rằng chúng ta đang giải quyết các khái niệm chứ không phải các vật cụ thể.
4. Phát biểu 2 + 3 = 5 có đúng cho mọi đối tượng không?
Không. Nếu các vật không giữ được nhận dạng riêng của chúng, thì phát biểu trên có thể không đúng đối với chúng.
Ví dụ, thêm 2 giọt nước vào 3 giọt nước có thể chỉ tạo ra một giọt nước – một giọt nước lớn.
Tương tự, nếu nhốt 2 con hổ và 3 con thỏ chung một chuồng, thì sau một lúc nào đó có thể ta thấy chỉ còn hai con vật thôi – hai con hổ sẽ ăn thịt 3 con thỏ bất lực đó.
Một ví dụ nữa, một lực bằng 2 đơn vị và một lực khác bằng 3 đơn vị, hai lực cùng tác dụng vào một vật có thể cho hợp lực bằng bất kì giá trị nào nằm giữa 1 và 5 đơn vị lực tùy thuộc vào góc giữa chúng.
Nếu chúng tác dụng ngược chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng một đơn vị, còn nếu chúng tác dụng cùng chiều nhau, thì tổng của chúng sẽ bằng 5 đơn vị.
Tuy nhiên, tổng của chúng sẽ bằng 4 đơn vị nếu góc giữa chúng bằng 75,5 độ.
5. Sự mở rộng khái niệm số có nghĩa là gì?
Những con số đầu tiên gắn liền với những vật cụ thể nên khái niệm số ban đầu hạn chế với chỉ những con số nguyên. Các phân số xuất hiện tự nhiên sau đó và sự ra đời của một kí hiệu cho số không là một sự kiện lớn, còn các số âm được thừa nhận lại là một sự miễn cưỡng lớn.
Những con số như thế gộp chung lại được gọi là số hữu tỉ.
Một lần nữa sự mở rộng này bắt đầu, và đến lượt số vô tỉ và số phức được công nhận.
Một số vô tỉ là con số không thể biểu diễn được bằng thương của hai số nguyên. Ví dụ, √2 là một số vô tỉ.Số vô tỉ và số hữu tỉ được gọi chung là số thực.
Một số phức là một con số bất kì có dạng a + bi, trong đó a và b là số thực, và i là kí hiệu cho căn bậc hai của trừ một, tức là i2 = - 1.
6. Các số siêu việt là gì?
Những số vô tỉ không bằng căn bậc hai của bất kì phương trình đại số nào được gọi là số siêu việt.
e và π là những số như thế.
e = 2,71828...; π= 3,14159...
các dấu chấm ở cuối có nghĩa là chuỗi số không có kết thúc mà kéo dài đến vô tận.
Về các số siêu việt, có một kết quả thú vị do Gelfond chứng minh vào năm 1934 là αβ là siêu việt nếu α là đại lượng đại số khác 0 và khác 1, và β là đại lượng đại số và không phải số hữu tỉ.
Như vậy, 2√3, 3√2, 5√3 là những số siêu việt. Nhưng nếu α và β đều là siêu việt thì không biết αβ có siêu việt hay không. Ví dụ, người ta không rõ ee, ππ hoặc πe có là siêu việt hay không.
Tuy nhiên, eiπ = - 1 là một kết quả tinh tế và sang trọng.
7. Vì sao đại số được gọi là số học tổng quát hóa?
Một ví dụ sẽ làm sáng tỏ.
Ở nhà trường, trẻ em được học rằng nếu lấy bình phương của một con số trừ cho 1, thì nó bằng tích của số liền trước và số liền sau con số đó.
Như vậy, 42 – 1 = (4 + 1) (4 – 1).
52 – 1 = (5 + 1) (5 – 1),
62 – 1 = (6 + 1) (6 – 1).
Rõ ràng mệnh đề trên là đúng nếu ở chỗ 4, 5 hoặc 6, ta thay vào con số bất kì nào khác.
Nếu đưa một kí hiệu mới, ví dụ như x, để biểu diễn một con số bất kì và là một con số không có gì đặc biệt hết, thì mệnh đề trên có thể được viết khái quát như sau
x2 – 1 = (x + 1) (x – 1).
Việc đưa thêm vào kí hiệu x là sự khởi đầu của đại số.
8. Sức mạnh của đại số nằm ở đâu?
Đại số có được phần lớn sức mạnh của nó từ việc xử lí bằng kí hiệu với các phần tử, các toán tử và các liên hệ.
Các kí hiệu x, y, z,... được dùng làm các phần tử, phép cộng và phép nhân chủ yếu được dùng làm toán tử, và dấu bằng là liên hệ bình thường kết nối các phần tử.
Như vậy x + x = 2x, và x + y = y + x
cho dù x và y biểu diễn con số nào.
9. Đại sốđã được tổng quát hóa chưa?
Kí hiệu x, dùng để biểu diễn con số bất kì, có tiềm năng giả định lớn. Trước tiên, nó mang đến các phương trình đại số, cái thống lĩnh địa hạt nghiên cứu lâu đến mức cho đến khoảng một thế kỉ rưỡi trước, đại số chỉ là lí thuyết của các phương trình.
Sau này x không chỉ hạn chế là những con số mà nó còn được sử dụng để biểu diễn bất kì thực thể nào khác, và các dấu toán tử cho phép cộng và phép nhân đã được phép mang lại những ý nghĩa mới tùy thuộc vào loại thực thể đang được xét đến.
Vì thế, thực thể xác định ý nghĩa gắn liền với dấu + và ×.
Các vector và ma trận là hai ví dụ quen thuộc của những thực thể như thế. Chúng sẽ được nói tới ở phần sau.
Đây là hình ảnh đại diện cho sự khái quát hóa của cái đại số bắt đầu.
10. Nó khác như thế nào với hình thức ban đầu của đại số?
Trong đại số sơ cấp, các chữ cái kí hiệu cho những con số bình thường, và các dấu toán tử, ví dụ + và ×, kí hiệu cho phép cộng và phép nhân bình thường. Nhưng ở hình thức khái quát hóa, các chữ cái kí hiệu cho thực thể bất kì nào đó, và dấu của toán tử là bất kì quy tắc kết hợp nào có liên quan đến thực thể.
11. Đại số trừu tượng là gì? Có phải nó là một sự tổng quát hóa hơn nữa?
Trong đại số trừu tượng, ngay cả những thực thể này cũng mất hết ý nghĩa của chúng về phương diện độ lớn và người ta nói tới những “phần tử” khái quát hơn trên đó những toán tử tương tự các toán tử đại số có thể được thực hiện.
Một ví dụ của những phần tử như thế là hai chuyển động tác dụng liên tiếp nhau hợp lại sẽ tương đương với một chuyển động.
Để minh họa, kí hiệu chuyển động quay của một hình vuông quanh tâm của nó 90o là R1, 180o là R2 và 270o là R3, thì chuyển động quay R1 rồi đến R2 sẽ tương đương với một chuyển động R3.
Một ví dụ nữa là hai phép biến đổi đại số sẽ tạo ra cùng một kết quả với một phép biến đổi đại số.
Để minh họa, kí hiệu phép tịnh tiến là T1 và T2 là phép quay, thì biến đổi T1 rồi đến T2 sẽ tương đương với một phép tịnh tiến T3.
Do đó, nếu với một tập hợp nào của các “vật”, kí hiệu bằng những chữ cái, những toán tử nhất định có thể được định nghĩa theo những quy tắc nhất định, thì người ta nói một hệ thống đại số đã được định nghĩa. Vì thế, đại số học được nhận dạng là việc nghiên cứu những hệ thống đại số đa dạng, và khi đó nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề.
12. Vì sao nó được gọi là đại số trừu tượng hay đại số tiên đề?
Nó là trừu tượng bởi vì chúng ta không quan tâm các chữ cái trong hệ thống đại số đó kí hiệu cho cái gì. Cái quan trọng là các tiên đề hay các quy tắc phải được thỏa mãn bởi các toán tử. Và nó có tính tiên đề bởi vì nó được xây dựng đơn thuần từ các quy tắc hay các tiên đề được phát biểu lúc ban đầu.
Hai hệ thống đại số như thế được biết đến dưới tên là nhóm và vành.
Tên gọi thoạt nghe có chút lạ lẫm, nhưng hiểu qua chút ít sẽ làm dịu đi phản ứng ban đầu đó. Chúng ta sẽ trở lại với chúng ở phần sau.
13. Những lĩnh vực nghiên cứu nào sử dụng đại số tiên đề?
Tô-pô, giải tích hàm, cơ học lượng tử và vật lí đương đại là một vài cái tên thuộc một vài lĩnh vực quan trọng, trong đó đại số tiên đề tỏ ra là công cụ khảo sát có sức mạnh nhất.
14. Số học là lý thuyết của những con số! Lý thuyết của những con số nghiên cứu cái gì?
Lí thuyết sơ cấp của những con số nghiên cứu cái sau đây:
Các hợp số và các quy tắc chia hết, số nguyên tố và sự xuất hiện của chúng, định lí cơ bản của số học, định lí Fermat, định lí Wilson, định lí cuối cùng của Fermat.
Các số Pythagoras,
Tính chất của những con số lớn,
Những con số được nói tới ở đây là số tự nhiên hoặc số nguyên dương.
15. Hợp số và số nguyên tố là gì?
Một số con số có thể được phân tích thành những thừa số nhỏ hơn, ví dụ 15 = 3 × 5, nhưng 11 hoặc 17 thì không phân tích được.
Các số có thể phân tích được thành những thừa số nhỏ hơn được gọi là hợp số, còn những số không thể phân tích được như thế được gọi là số nguyên tố.
16. Còn số 1 thì sao? Nó có phải là số nguyên tố không?
Một số nguyên tố là số có ước số là 1 và chính nó.
Ví dụ, số nguyên tố 7 có hai ước số, 1 và 7, mặc dù người ta gọi chúng là những ước số tầm thường.
Vì thế, nếu 1 là số nguyên tố thì nó sẽ có đúng hai ước số. Nếu 1 là hợp số, thì nó sẽ có nhiều hơn hai ước số. Nhưng số 1 có đúng một ước số thôi, cho nên nó không phải là số nguyên tố, cũng chẳng phải là hợp số.
17. Các quy tắc chia hết là gì?
Sau đây là các quy tắc chia hết. Người ta học chúng ở nhà trường.
- Một số là chia hết cho 2, nếu chữ số hàng đơn vị của nó chia hết cho 2. Như vậy, những số kết thúc với 0, 2, 4, 6, hoặc 8 là chia hết cho 2, như trong 530 và 138.
- Một số là chia hết cho 4, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 4, như trong 300 và 528.
- Một số là chia hết cho 8, nếu ba chữ số tận cùng bên phải là 000 hoặc chia hết cho 8, như trong 3000 và 3240.
- Một số là chia hết cho 5, nếu chữ số tận cùng bên phải là 0 hoặc 5, như trong 240 và 235.
- Một số là chia hết cho 25, nếu hai chữ số tận cùng bên phải là 00 hoặc chia hết cho 25, như trong 300 và 425.
- Một số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 3, như trong 231.
Ta dễ dàng thấy được nguyên nhân như sau:
231 = 2 × 100 + 3 × 10 + 1
= 2 × (99 + 1) + 3 × (9 + 1) + 1
= 2 × 99 + 2 × 1 + 3 × 9 + 3 × 1 + 1
= 2 × 99 + 2 + 3 × 9 + 3 + 1
= (2 × 99 + 3 × 9) + (2 + 3 + 1)
= (một bội của 9) + (tổng các chữ số).
Do đó, một con số là chia hết cho 3, nếu tổng các chữ số của nó là chia hết cho 3.
7. Một số là chia hết cho 9, nếu tổng các chữ số trong số đó chia hết cho 9, như trong 477.
Ở đây, 4 + 7 + 7 = 18, tổng chia hết cho 9, nên 477 chia hết cho 9.Lí do trong trường hợp này cũng tương tự như với trường hợp chia hết cho 3.
8. Một số là chia hết cho 11 nếu hiệu giữa tổng của các chữ số thứ tự lẻ và tổng các chữ số thứ tự chẵn bằng 0 hoặc bằng bội của 11.
Xét con số 1 8 3 9 5 5 2.Tổng các chữ số thứ tự lẻ là 1 + 3 + 5 + 2 = 11,
Tổng các chữ số thứ tự chẵn là 8 + 9 + 5 = 22,
Hiệu bằng 22 – 11 = 11, chia hết cho 11,
nên 1 8 3 9 5 5 2 chia hết cho 11.
18. Còn những quy tắc nào khác nữa không?
Vâng, có những quy tắc hấp dẫn như sau:
- Tích của hai số bằng tích của ước chung lớn nhất của chúng và bội chung nhỏ nhất của chúng.
Như vậy, nếu hai số là 12 và 18, thì ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của chúng tương ứng là 6 và 36, và 12 × 18 = 6 × 36 = 216. - Tích của hai số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2, tức là n(n + 1) là chia hết cho 2, trong đó n là số nguyên bất kì.
- Tích của ba số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2), là chia hết cho 2 × 3, tức là 6.
- Tích của bốn số nguyên liên tiếp, tức là n(n + 1)(n + 2)(n + 3) là chia hết cho 2 × 3 × 4, tức là 24.
- Tích của r số nguyên liên tiếp là chia hết cho 2 × 3 × 4 × ... × r, hay r! .
Tích 1.2.3...r được gọi là r giai thừa, và được kí hiệu là r! - Với mọi số lẻ n, số n2 – 1 là chia hết cho 8.
Nếu n là một số lẻ, thì n – 1 phải chẵn và chia hết cho 2. Đồng thời, n + 1 là số chẵn liền sau và, do đó, chia hết cho 4. Vì thế, tích này chia hết cho 8.
Có vô hạn số nguyên tố.
Các số nguyên tố nhỏ hơn 100, xếp theo thứ tự là:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 và 97.
Một vài số nguyên tố lớn hơn 100 là:
101, 103, 107, 109,..., 211,..., 307,..., 401,..., 503,..., 601,..., 701,...,809,..., 907,..., 65537,...,510511,...
20. Có nguyên tố lớn nhất không?
Câu hỏi liệu dãy số trên có điểm dừng hay không, hoặc các số nguyên tố có vô hạn về số lượng hay không, đã không được trả lời trong một thời gian khá lâu, cho đến khi Euclid chứng minh rằng chúng phải vô hạn về số lượng, và không có số nguyên tố lớn nhất.
Còn nữa...