51. Đại số là lí thuyết của các phương trình! Giải phương trình có nghĩa là gì?
Xét những bài toán sau đây:
- Tuổi của A gấp đôi tuổi của B. Hồi 10 năm trước thì tuổi của A gấp bốn lần tuổi của B. Hỏi hiện nay họ bao nhiêu tuổi?
- Tiền của A nhiều gấp đôi tiền của B. Sau khi mỗi người xài 10 rupee, A nhận thấy tiền của anh gấp bốn lần tiền của B. Hỏi ban đầu mỗi người có bao nhiêu tiền?
- A đi xa gấp đôi B. Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm, thì A đi xa gấp bốn lần B. Hỏi mỗi người đã đi bao xa?
Phát biểu như thế này về x thường liên hệ hai biểu thức bởi một dấu bằng, vì thế nó được gọi là phương trình. Phương trình này là đúng đối với giá trị hoặc những giá trị nhất định của biến x, và không đúng với những giá trị khác.
Giải phương trình có nghĩa là xác định những giá trị của biến x để cho phương trình nghiệm đúng. Ví dụ, phương trình 4x = 12 chỉ đúng với x = 3, nên 3 được gọi là nghiệm của phương trình 4x = 12.
52. Những bài toán này được giải như thế nào?
Trong bài toán 1,
Ta gọi tuổi của B là x.
Thì tuổi của A là 2x.
Mười năm trước, tuổi của A phải là (2x – 10).
Và tuổi của B là (x – 10).
Theo bài toán, tuổi của A bằng bốn lần tuổi của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Vậy tuổi của B là 15, và tuổi của A gấp đôi tuổi của B: 30.
Trong bài toán 2, ta giả sử B có x rupee, thì tiền của A là 2x rupee.
Sau khi xài 10 rupee, A còn lại (2x – 10) rupee, B còn lại (x – 10) rupee.
Theo bài toán, tiền của A lúc này bằng bốn lần tiền của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Tiền của B là 15 rupee, và tiền của A gấp đôi của B: 30 rupee.
Trong bài toán 3,
Ta giả sử B đi x dặm, thì A đi 2x dặm.
Nếu mỗi người đi ít lại 10 dặm thì quãng đường A đi được là (2x – 10), và B đi được (x – 10) dặm.
Theo bài toán, quãng đường của A bằng bốn lần quãng đường của B:
(2x – 10) = 4 (x – 10) hay 2x = 30 hay x = 15.
Vậy B đi được 15 dặm và A đi được 15 dặm.
53. Nói phương trình là một mô hình toán học thì có nghĩa là gì?
Ba bài toán ở trên liên quan đến những thực thể rõ ràng khác nhau như tuổi, tiền và quãng đường đi, nhưng cùng một phương trình, tức là (2x – 10) = 4 (x – 10) là phương tiện cần thiết để giải chúng.
Như vậy, phương trình là một mô hình toán học có nhiều điểm chung với bài toán nên nghiệm của nó cũng là nghiệm của bài toán. Như vậy, trong khi chúng ta chỉ giải mô hình, nhưng bài toán cũng đã được giải.
54. Mô hình “có nhiều điểm chung” với bài toán có nghĩa là sao? Có phải mô hình không đại diện hoàn toàn cho bài toán?
Tập hợp số tự nhiên 1, 2, 3,... là ví dụ đơn giản nhất của một mô hình toán học. Nó được sử dụng để đếm các vật khi mà toàn bộ tính chất của các vật đó bị bỏ qua, trừ số lượng của chúng.
Nhưng nếu những yếu tố khác được xét đến, thì chúng có thể dẫn tới những kết luận kì lạ hoặc bất ngờ như câu chuyện dưới đây sẽ làm rõ.
Trong lớp bình dân học vụ ở một ngôi làng nọ, người thầy dạy đang cố gắng giảng giải phép toán trừ như sau:
Thầy: Có 11 con cừu, 7 con nhảy ra khỏi chuồng thì sẽ còn lại mấy con?
Trò: Không còn con nào cả!
Thầy: Vì sao vậy? Nếu 7 con chạy qua bên này rồi thì bên kia còn lại 4 con chứ! Sao lại không còn con nào?
Mấy người học trò vẫn chưa chịu thôi.
Trò: Trời ơi, có lẽ thầy biết làm toán đó. Nhưng thầy không hiểu mấy con con cừu rồi!
55. Thủ tục giải các bài toán đại số là gì?
Để giải các bài toán, chúng được chuyển thành các phương trình. Cách giải các phương trình là chủ để trọng tâm của đại số, phần tiếp theo sẽ giới thiệu ngắn gọn về chúng.
56. Phương trình bậc nhất là gì?
Một phương trình có dạng ax + b = 0, trong đó x là một thực thể chưa biết, được gọi là một phương trình bậc nhất.
Nó có thể được giải một cách dễ dàng.
Nếu ax + b = 0 thì ax = - b và x = - b/a.
Trong những bài toán đã nêu ở trên, phương trình 2x = 30 là một phương trình bậc nhất.
57. Phương trình bậc hai là gì?
Một phương trình bậc hai thì có dạng ax2 + bx + c = 0.
Nó có hai nghiệm, mặc dù đôi khi hai nghiệm đó trùng nhau.
58. Phương trình bậc hai được giải như thế nào?
Công cụ chính để giải phương trình bậc hai là một công thức được suy luận ra như sau:
Trước hết, chia mỗi số hạng của phương trình cho a.
Người ta tin rằng các phương trình bậc nhất đã được giải bởi người Ai Cập vào khoảng 4000 năm trước. Phương trình bậc hai đã được giải bởi người Hindu vào thời cổ xưa, còn các phương trình tổng quát bậc ba và bậc bốn chỉ mới được giải bởi các nhà đại số học người Italy vào thế kỉ 16.
60. Một phương trình có bao nhiêu nghiệm?
Một phương trình bậc nhất thì có một nghiệm, bậc hai có hai nghiệm, bậc ba có ba nghiệm, và cứ thế số nghiệm theo bậc của phương trình.
Vào giai đoạn đầu của lịch sử toán học, người ta chỉ công nhận nghiệm dương của các phương trình, còn nghiệm âm bị xem là sai.
61. Có phải mọi phương trình đại số đều có nghiệm thực?
Không. Có những phương trình như x2 + 1 = 0 không có nghiệm thực nào.
Phương trình x2 + 1 = 0 có hai nghiệm là i và – i, trong đó i là kí hiệu của √-1, tức là căn bậc hai của – 1.
Có thể nói rằng mỗi phương trình bậc hai có hai nghiệm, cái cần thiết là công nhận tồn tại số phức – cái đã có thời người ta phủ nhận.
Một con số có dạng a + it được gọi là số phức. Nếu a = 0 thì con số đó đôi khi được gọi là số ảo.
Nhưng phương trình x2 – 2 = 0 thì có hai nghiệm thực, √2 và – √2.
Những nghiệm như thế đã gây khó khăn cho các nhà toán học, cho đến khi số vô tỉ được thừa nhận là một tập số.
62. Mở rộng hệ thống số thì có lợi gì? Hay định lí cơ bản của đại số học là gì?
Với hệ thống số mở rộng bao gồm toàn bộ số tự nhiên, phân số, số âm, số vô tỉ và số phức, người ta đã có thể phát biểu một định đề rất quan trọng và đẹp đẽ gọi là định lí cơ bản của đại số học.
Nó phát biểu rằng mọi phương trình đại số bậc n với các hệ số thực hoặc hệ số phức luôn luôn có ít nhất một nghiệm thực hoặc nghiệm phức.
Nó được gọi là định lí cơ bản của đại số học bởi vì khi nó được Gauss chứng minh lần đầu tiên vào năm 1799, nghiên cứu đại số học chỉ mới hạn chế với lí thuyết của các phương trình. Mặc dù định lí cực kì quan trọng nhưng tên gọi như thế không còn hợp lí trước sự thay đổi to lớn về bản chất và quy mô của đại số học.
Một hệ quả rất hữu ích của định lí này là mỗi phương trình đại số bậc n không phải có một mà có chính xác n nghiệm. Tất nhiên, ở đây ta giả sử rằng một nghiệm trùng lắp cũng được đếm là một nghiệm.
63. Tại sao định lí cơ bản của đại số học được gọi là định lí tồn tại?
Nó được gọi là định lí tồn tại vì nó chỉ đơn giản cho chúng ta biết số lượng nghiệm tồn tại đối với một phương trình cho trước, chứ nó không đề cập tới phương pháp xác định nghiệm.
64. Định lí này có đúng cho mọi loại phương trình không?
Không. Định lí chỉ đúng đối với các phương trình đại số vì có tồn tại những phương trình phi-đại số không có nghiệm gì cả!
Ví dụ, phương trình ax = 0, trong đó a là một số thực, không có nghiệm nào hết!
65. Những phương trình nào được gọi là phi-đại số?
Sau đây là một vài phương trình phi-đại số:
(i) x + log10x = 5
(ii) ex – 3x = 0
(iii) x2 + 4 sinx = 0
Những phương trình này là phi-đại số vì chúng chứa các biểu thức logarithm, lũy thừa hoặc lượng giác.66. Hệ thống số có được khái quát hóa vượt ra ngoài số phức hay không?
Đã có những nỗ lực khái quát hóa thêm khái niệm số nhưng không thành công cho lắm.
Các quaternion và số siêu phức đã được phát minh để có sự khái quát hóa như thế.
67. Quaternion là gì?
Một quaternion là một kí hiệu thuộc loại a + bi + cj + dk, trong đó a, b, c, d là các số thực, và i, j, k là các kí hiệu toán tử.
Tổng của hai quaternion được định nghĩa đơn giản. Ví dụ, tổng của hai quaternion
x = x0 + x1i + x2j + x3k
và y = y0 + y1i + y2j + y3k
là x + y = (x0 + y0) + (x1 + y1)i + (x2 + y2)j + (x3 + y3)k.
Tích của hai quaternion được định nghĩa bằng cách sử dụng luật phân phối và những quy ước sau đây:
i2 = j2 = k2 = - 1
ij = - ji = k
jk = - kj = i
ki = - ik = j
Chúng được phát minh bởi William R. Hamilton.
68. Số siêu phức là gì?
Một số siêu phức được kí hiệu bởi biểu thức
E1x1 + E2x2 +… + Enxn,
trong đó x1, x2,…, xn là các số thực, và E1, E2,…, En là các kí hiệu toán tử.
Nó còn được gọi là vector n chiều, và được sáng tạo bởi Grassmann, một người đương thời với Hamilton.
Lí thuyết số siêu phức bao hàm các quaternion, nên các quaternion có thể được xem là một trường hợp đặc biệt của số siêu phức.
69. Tại sao những mở rộng này của hệ thống số ít được biết tới?
Có nhiều lí do.
Các nhà vật lí và các nhà toán học ứng dụng thấy chúng quá khái quát và phức tạp cho những nhu cầu hằng ngày của họ.
Thứ hai, một công cụ toán học đơn giản hơn nhiều gọi là Giải tích Vector đã được phát triển, do sức mạnh to lớn của nó mà nó được ứng dụng rộng rãi trong hầu như mỗi ngành vật lí toán và nhiều lĩnh vực khác.
Thứ ba, các quy ước mà Hamilton sử dụng để định nghĩa tích của hai quaternion hay các quy tắc mà Grassmann lập ra để kết hợp hai số siêu phức không thỏa mãn sức mạnh của tính hợp thức của toán học.
70. Vậy câu hỏi cần trả lời là gì: Khái niệm số có được mở rộng thêm vượt ra ngoài hệ số phức hay không?
Câu trả lời là Không, và đó là một bước ngoặc lớn.
Weierstrass đã chứng minh vào khoảng năm 1860, và sau này được Hilbert chứng minh đơn giản hơn nữa, rằng không thể có sự khái quát hóa nào thêm nữa theo xu hướng đặc biệt này.
Chúng ta đã đi tới cuối con đường.
71. Phương trình bậc ba là gì và nó được giải như thế nào?
Phương trình bậc ba tổng quát có dạng
x3 + ax2 + bx + c = 0 (1)
Trước tiên nó được biến đổi thành một phương trình bậc ba có dạng
y3 + py + q = 0 ...(2)
phương trình không chứa số hạng bình phương của biến.
Việc này được tiến hành một cách dễ dàng bằng cách đặt x = y – a/3.
Bây giờ giả sử y = u + v,
rồi lập phương cả hai vế:
y3 = u3 + v3 + 3uv (u + v)
hay y3 = u3 + v3 + 3uv y
thay y cho u + v
hay y3 – 3 uvy – (u3 + v3) = 0 ...(3)
So sánh phương trình (2) và (3) ta có
Vì x=y-a/3 nên ta có thể suy ra x trừ đi a/3 tư kết quả trên.
72. Ai đã phát triển phương pháp giải này?Phương pháp giải phương trình bậc ba này thường được gọi là phương pháp Cardan.
Cardan thu được nó từ một nhà toán học khác tên là Tartaglia với lời hứa giữ bí mật nhưng ông đã công bố nó là thành quả của riêng ông trong quyển sách của ông vào năm 1545.
Cả Cardan và Tartaglia đều là người Ý.
73. Phương trình bậc ba có các hệ số được giải như thế nào?
Chúng ta hãy thử giải phương trình sau đây:
x3 + 6x2 + 9x + 4 = 0
Trước tiên, đặt x = y – 2, khi đó phương trình đã cho biến đổi thành
(y – 2)3 + 6 (y – 2)2 + 9 (y – 2) + 4 = 0
hay đơn giản lại là y3 – 3y + 2 = 0.
Bây giờ đặt y = u + v, thì y3 – 3 uvy – (u3 + v3) = 0, rồi lập phương cả hai vế.
Þ uv = 1, và u3 + v3 = – 2, khi so sánh với y3 – 3y + 2 = 0
hay u3 + v3 = – 2, và u3v3 = 1.
Do đó, u3 và v3 là nghiệm của phương trình
t2 – (tổng các nghiệm) t + (tích các nghiệm) = 0
hay t2 + 2t + 1 = 0,
hay (t + 1)2 = 0, cho t = – 1, – 1.
Þ u3 = – 1, và v3 = – 1; cho u = – 1, và v = – 1.
Þ y = u + v = – 2
Vì y = – 2 là một nghiệm của phương trình y3 – 3 y + 2 = 0
Þ y + 2 phải là một hệ số của phương trình này.
Chia phương trình cho y + 2, ta được phương trình bậc hai
y2 – 2y + 1 = 0, hay (y – 1)2 = 0, cho y = 1, 1.
Þ y = – 2, 1, 1.
Vì x = y – 2, nên cuối cùng ta có x = – 3, – 1, – 1.
74. Phương pháp này có luôn cho ra nghiệm hay không?
Trong trường hợp phương trình bậc ba có hệ số, phương pháp này chỉ cho ra nghiệm khi phương trình bậc ba hoặc có hai nghiệm ảo, hoặc có hai nghiệm bằng nhau, và nó không tìm ra nghiệm của phương trình bậc ba có cả ba nghiệm thực và không bằng nhau.
Phương trình bậc ba thuộc loại vừa nói được giải bằng cách sử dụng lượng giác và các phương pháp gần đúng.
75. Phương trình bậc bốn được giải như thế nào?
Một ví dụ sẽ làm sang tỏ nhất phương pháp giải nghiệm.
Xét phương trình
x4 – 10 x3 + 35 x2 – 50 x + 24 = 0
Phương pháp giải trước tiên biểu diễn vế trái là hiệu của hai bình phương, sau đó là tích của hai phương trình bậc hai.
Ta có x4 – 10 x3 + 35 x2 – 50 x + 24 = 0
hay x4 – 10 x3 = – 35 x2 + 50 x – 24
hay x4 – 10 x3 + 25 x2 = – 10 x2 + 50 x – 24
hay (x2 – 5 x)2 = – 10 x2 + 50 x – 24
Đưa thêm λ vào vế trái, rồi cân bằng với vế phải, ta được
(x2 – 5 x + λ)2 = (– 10 x2 + 50 x – 24) + λ2 + 2λ (x2 – 5 x)
hay (x2 – 5 x + λ)2 = (2λ – 10) x2 + (50 – 10 λ) x + λ2 – 24
Áp dụng điều kiện các số hạng ở vế phải tạo nên một số chính phương, ta được cái gọi là lập phương bổ trợ theo λ, từ đó có thể tính ra λ.
Ở đây, λ có thể được xác định dễ dàng hơn bằng cách xét rằng vì các số hạng ở vế phải tạo nên một số chính phương, nên (2x – 10) và (λ2 – 24) cũng phải là một số chính phương.
Do đó, ta đặt (2x – 10) lần lượt bằng 1, 4, 9, 16,... và thấy giá trị của l làm cho λ2 – 24 cũng là một số chính phương.
Đặt 2x – 10 = 4 hay λ = 7 cho λ2 – 24 = 25, đó là một số chính phương, và ta được
(x2 – 5x + 7)2 = 4x2 – 20x + 25
hay (x2 – 5x + 7)2 = (2x – 5)2
hay x2 – 5x + 7 = ± (2x – 5)
suy ra x2 – 5x + 7 = 2x – 5, và x2 – 5x + 7 = – 2x + 5,
tức là x2 – 7x + 12 = 0, và x2 – 3x + 2 = 0.
Đây là hai phương trình bậc hai, giải chúng cho ta tương ứng x = 3, 4 và x = 1, 2.
Do đó, nghiệm của phương trình bậc bốn đã cho là 1, 2, 3, và 4.
76. Ai đã phát triển phương pháp này và khi nào?
Phương pháp giải phương trình bậc bốn này được nêu ra vào năm 1540 bởi Ferrari, một nhà toán học người Italia và là học trò của Cardan.
77. Phương pháp giải phương trình bậc bốn của Descartes là gì?
Vào năm 1637, Descartes nêu ra một phương pháp giải khác với Ferrari. Ông giải phương trình bằng cách biểu diễn nó bằng tích của hai tam thức bậc hai.
Phương pháp này có thể áp dụng khi phương trình khuyết số hạng chứa x3, hoặc loại trừ nó bằng những thay thế thích hợp.
Ví dụ sau đây làm rõ cho phương pháp.
Xét phương trình
x4 – 2x2 + 8x – 3 = 0
Giả sử x4 – 2x2 + 8x – 3 = (x2 + kx + l) (x2 + kx – m),
sau đó đơn giản và cân bằng các hệ số giống nhau,
ta có
(m + l)2 – (m – l)2 = 4ml
để loại trừ m, n ra khỏi những phương trình này, ta được
(k – 2)2 – 64/k2 = - 12
Đơn giản, ta được k6 – 4k2 + 16k2 – 64 = 0.
Đây là phương trình bậc ba theo k2, và nó được thỏa mãn bởi k2 = 4, hay k = ± 2.
Thay k = 2 ta có m=3, l=-1. . Do đó x4 – 2x2 + 8x – 3=(x2 + 2x-1)(x2 - 2x+3).
78. Còn phương pháp giải phương trình tổng quát bậc năm thì sao?
Sau khi có được phương pháp giải phương trình bậc ba và bậc bốn, nhiều nhà toán học danh tiếng đã tiếp tục nỗ lực giải phương trình bậc năm. Họ đã cố gắng không mệt mỏi trong hơn hai thế kỉ rưỡi mà không có chút thành công nào.
79. Phương trình bậc năm là không thể giải được bằng cách đưa nó về phương trình bậc bốn phải không?
Chúng ta đã thấy rằng lời giải của một phương trình phụ thuộc vào lời giải của một phương trình bậc thấp hơn. Sử dụng nguyên lí này, một nhà toán học người Pháp, Lagrange, đã cố giải phương trình bậc năm nhưng nó lại dẫn ông tới một phương trình bậc sáu. Đây là một dấu hiệu gián tiếp rằng một phương trình bậc năm tổng quát không thể giải được bằng những phương pháp như thế. Lagrange đã bỏ qua gợi ý đó.
80. Abel đã chứng minh cái gì?
Abel, một nhà toán học người Na Uy, vào năm 1824 đã chứng minh kết quả nổi bật rằng phương trình đại số tổng quát có bậc cao hơn bốn là không thể giải được bằng cách khai căn.
Còn nữa...