23. Đề thi học sinh giởi thành phố Hồ Chí Minh 2013 - 2014
Ngày 1.
Bài 1: Giải hệ phương trình $$\begin{cases} x^2+y^2+xy+1=4y \\ y(x+y)^2=2x^2+7y+2\end{cases}$$
Bài 2: Cho dãy $(x_n)$ thỏa $$\begin{cases} x_1 = a>1 \\ 2014x_{n+1}=x_n^2+2013x_n\end{cases}$$
Tìm $$\lim \left ( \frac{x_1}{x_2-1}+\frac{x_2}{x_3-1}+...+\frac{x_n}{x_{n+1}-1}\right)$$
Bài 3: Tìm số thực $p,q$ sao cho phương trình $x^2+px+1=0$ và $x^2+qx+2=0$ có nghiệm chunng và $A=2|p|+3|q|$ nhỏ nhất.
Bài 4: Cho tam giác ABC cân nội tiếp (O), M di động trên (O). M không thuộc AO. Đường thẳng vuông góc AM tại M cắt BC tại N. Đường trung trực của MN cắt AB, AC lần lượt tại E,F. Tìm quỹ tích trọng tâm tam giác AEF.
Bài 5: Tìm $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ thỏa $$f(2013f(x+y)) = f(x+y) +2013f(x)f(y) - \frac{xy}{2013}$$
Ngày 2
Bài 1: Tìm các đa thức $f(x), g(x)$ hệ số nguyên thỏa $$f(g(x)) = x^{2013}+2014x+1 \ \forall x \in \mathbb{R}$$
Bài 2: Cho $a_1,a_2,a_3,a_4,a_5$ là các số thực thỏa $a_1+a_2+a_3+a_4+a_5=0$ và $\max_{1 \le i \le j \le 5} |a_i -a_j| \le 1$. Chứng minh $$a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2+a_5^2 \le 10$$
Bài 3: Một tam giác nguyên là tam giác có độ dài các cạnh là số nguyên. Tìm các tam giác nguyên có chu vi bằng diện tích.
Bài 4: Cho tam giác ABC không cân có M,N,P lần lượt là trung điểm BC, CA, AB. Đường trung trực của AB và AC cắt AM lần lượt tại D và E. BD cắt CE tại F. Chứng minh APFN nội tiếp.
Bài 5: Có tồn tại hay không một tập con $A$ gồm 2014 phần tử của tập $S = \{1;2;...;3020\}$ thỏa $2x \notin A \ \forall x \in A$?
24. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Bình năm học 2013 - 2014
Ngày 1
Câu 1
Giải phương trình trên tập số thực :
$2013^{x^3-y^3-3x^2-3y^2-9x+9y+22}+2013^{x^2+y^2-x+y-\frac{1}{2}}=x^3-y^3-2x^2-2y^2-10x+10y+\frac{47}{2}$
Câu 2:
Cho dãy số nguyên $(a_n)$ xác định như sau :
$\left\{\begin{matrix} a_0=1,a_1=3,a_2=5\\ a_{n+3}=2a_{n+2}+2a_{n+1}-a_n \end{matrix}\right.$
Tìm số nguyên $k$ sao cho $4a_na_{n+1}+k$ là số chính phương với mọi $n$ nguyên dương
Câu 3
Cho tam giác $ABC$ đều, $M,P$ lần lượt thuộc $AB$ và $BC$ sao cho $MP$ song song $AC$. Gọi $D$ là trọng tâm $MPB$ và $E$ là trung điểm $AP$. Tính số đo các góc $\Delta DEC$
Câu 4
Cho thất giác lồi $ABCDEFG$ có các cạnh và các đường chéo $AC,AD,AE,AF$ có độ dài không vượt quá $\sqrt{3}$ bên trong thất giác lồi lấy 2014 điểm phân biệt trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
1, Chứng minh rằng tồn tại 1 hình tròn đơn vị có tâm nằm trên cạnh của thất giác và chứa ít nhất 288 điểm đã cho
2, Xét tất cả các tam giác tạo thành bởi 3 trong 2014 điểm trên, chứng minh số tam giác đó chứa ít nhất là 30% tam giác không nhọn.
Ngày 2
Câu 5
Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ với hệ số thực thoả mãn điều kiện :
$$(P(x))^2-2=2P(2x^2-1)$$
Câu 6
Cho tam giác ABC. Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tâm I và tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại A', B', C'. Gọi (C) là đường tròn tâm I nằm trong tam giác ABC. D, E, F lần lượt là các giao điểm của (C) với IA', IB', IC'.
Chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy
Câu 7
Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Tìm tất cả hàm số $f: \mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ sao cho với mọi $m,n\in \mathbb{Z}$ ta có :
1, Nếu $m\equiv n\pmod{p}$ thì $f(m)=f(n)$
2, $f(mn)=f(m)f(n)$
Câu 8
Chứng minh rằng trong 18 người bất kì luôn tồn tại 4 người đôi 1 quen nhau hoặc đôi 1 không quen nhau.
25. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thái Nguyên năm học 2013 - 2014
Câu 1. Cho hàm số $y = \dfrac{2x - 1}{{x - 1}}$, $(C)$. Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận của $(C)$. Với giá trị nào của $m$, đường thẳng $y = - x + m$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, B$ và tam giác $IAB$ đều.
Câu 2.
- Giải phương trình sau trên tập số thực $$5\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 4\sin \left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) - 9.$$
- Giải hệ phương trình sau trên tập số thực $$\left\{ \begin{array}{l}
\sqrt {7x + y} - \sqrt {2x + y} = 4\\
2\sqrt {2x + y} - \sqrt {5x + 8} = 2
\end{array} \right.$$
Câu 4. Cho dãy số $\left\{ {{x_n}} \right\}$ xác định như sau: ${x_1} = \sqrt 3$ và
$${x_{n + 1}} = \sqrt {9x_n^2 + 11{x_n} + 3}, \left( n \in \mathbb{N}^* \right)$$
Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \dfrac{{{x_{n + 1}}}}{{{x_n}}}$.
Câu 5. Cho $x, y, z$ là các số thực dương thay đổi thỏa mãn $x + y + z = 3$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $$P = \frac{{xy}}{{3x + 4y + 2z}} + \frac{{yz}}{{3y + 4z + 2x}} + \frac{{zx}}{{3z + 4y + 2y}}.$$
26. Đề thi học sinh giỏi tỉnh Sơn La năm học 2013 - 2014
Câu 1.
- Tìm hệ số của số hạng không chứa $x$ trong khai triển nhị thức Niu-tơn $\left( \dfrac{1}{\sqrt[3]{x}} + x\sqrt[3]{x^2} \right)^n$ biết rằng tổng các hệ số của các số hạng trong khai triển này là $a_0 + a_1 +... + a_n = 4096$.
- Cho phương trình $x^3-3x+1=0$. Chứng minh rằng phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
- Chứng minh rằng nếu $n$ là số nguyên và $n \ge 1$ thì:
$$\left(1+\dfrac{1}{n+1} \right)^{n+1} > \left(1+\dfrac{1}{n} \right)^n.$$ - Tìm giới hạn sau:
$$L = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}}\dfrac{1-\sin^{m+n+p}{x}}{\sqrt[3] {\left(1- \sin^m{x} \right) \left( 1- \sin^n{x} \right) \left( 1- \sin^p{x}\right) }}$$
Với $m,n,p \in \mathbb{N}^{*}$.
Câu 4 Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$, cạnh bên $SA = h$ và $SA \perp (ABCD)$. $M$ là điểm thay đổi trên cạnh $CD$. Đặt $CM = x$.
- Hạ $SH \perp BM$. Tính $SH$ theo $a, h$ và $x$.
- Xác định vị trí của $M$ để thể tích tứ diện $SABH$ đại giá trị lớn nhất. Tìm GTLN đó.
Cho tam giác $ABC$ biết $\sin{A}^2 + \sin{B}^2 = k \sin{C}^2$ với $k > \dfrac{1}{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của $\sin C$.
27. Đề thi chọn đội tuyển Hải Phòng năm 2013-2014.
Ngày 1.
Câu 1. Cho dãy số $(x_n)$ thỏa $x_1=1$ và
$$x_{n+1}=20+\frac{13}{x_n},\forall n\geq 1.$$
Chứng minh rằng dãy $(x_n)$ hội tụ. Tính $\lim x_n$.
Câu 2. Cho đường tròn $(O)$ đường kính $AB$ cố định. Điểm $C$ di chuyển trên đường tròn ($C$ khác $A$ và $B$). Dựng đường cao $CD$ của tam giác $ABC$. Đường tròn $(J)$ tiếp xúc với các đoạn thẳng $AD$ và $CD$, đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$ tại $E$. Gọi $F$ là giao điểm của đường phân giác góc $\widehat{ACD}$ và $\widehat{AEB}$. Chứng minh rằng $F$ nằm trên một đường thẳng cố định.
Câu 3. Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa $xy+yz+zx=\sqrt{xyz}$. CHứng minh rằng
$$\frac{x^{2014}}{1-x}+\frac{y^{2014}}{1-y}+\frac{z^{2014}}{1-z}<\frac{1}{3.4^{2013}}.$$
Câu 4. Trong một phòng thi có $n$ ($n\geq 2$) thí sinh được xếp xung quanh một bàn tròn. Trong ngân hàng đề có $4$ loại đề khác nhau, mỗi loại có nhiều hơn $n$ bản. Một cách phát đề được gọi là hợp lệ nếu mỗi thí sinh chỉ nhận một đề và khác loại đề hai thí sinh ngồi cạnh. Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu thí sinh biết rằng số cách phát đề hợp lệ không quá $2013$?
Ngày 2
Câu 1. Cho $a,b$ là hai số tự nhiên thỏa mãn $1\leq a\leq b$, đặt $M=\left[\dfrac{a+b}{2}\right]$. Gọi $f:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ là hàm số xác định bởi
$$f(n)=\begin{cases}n+a,\quad \text{ nếu } n<M\\ n-b,\quad \text{ nếu } n\geq M\end{cases}.$$
Đặt $f^1(n)=f(n), f^{i+1}(n)=f(f^i(n))$. Tìm số $k$ nhỏ nhất thỏa mãn $f^k(0)=0$.
Câu 2. Cho hai đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$ ($O_1$ và $O_2$ nằm về hai phía so với $AB$). Một đường thẳng thay đổi qua $A$ cắt $(O_1),(O_2)$ lần lượt tại $C,D$ khác $A$ ($A$ nằm giữa $C,D$). Gọi $P,Q$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $B$ xuống tiếp tuyến tại $C$ của $(O_1)$ và tiếp tuyến tại $D$ của $(O_2)$. Chứng minh rằng đường thẳng $PQ$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Câu 3. Cho $p$ là số nguyên tố có dạng $4k+3$, ($k\in\mathbb{Z}$). Hãy tìm số dư của phép chia
$$(1^2+1)(2^2+1)(3^2+1)....((p-1)^2+1) \text{ cho } p.$$
Câu 4. Trong mỗi ô của bảng $2013\times 2013$ ô vuông, ta điền một số thực bất kỳ trong đoạn $[-1;1]$ sao cho tổng bốn số trong mỗi bảng vuông con $2\times 2$ đều bằng $0$. Hỏi tổng tất cả các số trong bảng $2013\times 2013$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu?