Đề thi Đại học môn Toán khối A, A1 năm 2014. Đang cập nhật.
Lời giải Đề thi môn Toán khối A năm 2014 và Bình luận. Đang cập nhật.
Câu 1.
a) Rõ.
b) $M(-2;0)$ và $M(0,-2)$.
Câu 2.
Câu 3.
a) Phần thực bằng 2, phần ảo bằng -3.
b) Xác suất cần tìm là 1/26.
Câu 5.
Phương trình mặt phẳng cần tìm là $x+8y+5z+13=0$.
Câu 6.
$V=\frac{a^3}{3}$, $d(a, (SBD))=\frac{2a}{3}$.
Câu 7. Đặt $AB=a$, áp dụng định lí cosin cho tam giác $AMN$ ta có $a=4$.
Gọi $O(x_O, y_O)$ là tâm của hình vuông $ABCD$. Khi đó $OM=2$, $ON=\sqrt{2}$. Suy ra $O(1, 0)$ hoặc $O(\frac{11}{5},\frac{2}{5}$.
Từ đó có tọa độ điểm $C$.
Đáp số $x+4=0$ và $-3x+4y+15=0$.
Câu 8.
Điều kiện: $2 \leq y \leq 12$, $|x|\leq \sqrt{12}$
Áp dụng BĐT $ab\le \dfrac{a^2+b^2}{2}$, ta suy ra $$12=x\sqrt {12 - y} + \sqrt {y\left( {12 - {x^2}} \right)}\le \dfrac{x^2+12-y}{2}+\dfrac{y+12-x^2}{2}=12.$$
Suy ra $x=\sqrt{12-y}$.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:
$x^3-8x-1=2\sqrt{10-x^2}$
$\Leftrightarrow (x^3-27)-(8x-24)+(2-2\sqrt{10-x^2}=0$
$\Leftrightarrow (x-3)(x^2+3x+9)-8(x-3)+\frac{2(x^2-9)}{1+\sqrt{10-x^2}}=0$
$\Leftrightarrow (x-3)\left ( x^2+3x+1+\frac{x+3}{1+\sqrt{10-x^2}} \right )=0$
Suy ra $x=3$ hoặc $x^2+3x+1+\frac{x+3}{1+\sqrt{10-x^2}=0$ (vô nghiệm).
Vậy $(x,y)=(3,3)$ là nghiệm duy nhất của hệ.
Câu 9.
Ta có $(x-y-z)^2 \geq 0 \Leftrightarrow 2= x^2+y^2+z^2 \geq 2xy+2xz-2yz$
$\Rightarrow 1 \geq xy+xz-yz \Rightarrow x^2+yz+x+1 \geq x^2+xy+xz+x$
$\Rightarrow \dfrac{x^2}{x^2+yz+x+1}\le \dfrac{x}{x+y+z+1}$
Do đó:
$P\le \dfrac{x+y+z}{x+y+z+1}-\dfrac{1+yz}{9}=1-\left(\dfrac{1}{x+y+z+1}+\dfrac{1+yz}{9}\right).$
Mặt khác $x+(y+z) \le \sqrt{2(x^2+(y+z)^2)}=2\sqrt{1+yz}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{x+y+z+1} \ge \dfrac{1}{2\sqrt{1+yz}+1}+\dfrac{1+yz}{9}.$
Đặt $t=\sqrt{1+yz}$, $t\geq 0$.
Từ $\dfrac{1}{2t+1}+\dfrac{t^2}{9}\ge \dfrac{4}{9} \Leftrightarrow (2t+5)(t-1)^2\geq 0$, $\forall t \geq 0$
ta được
$$P\le 1-\dfrac{4}{9}=\dfrac{5}{9}.$$ Dấu bằng xảy ra khi $x=1, y=1, z=0$ hoặc $x=1,y=0,z=1$.
Đáp án Chính thức Đề thi môn Toán khối A năm 2014 của Bộ giáo dục. Download.